【学习笔记】量子杂谈(一):从Schrodinger方程到Dirac方程 |
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前言 本文为个人测试B站专栏功能的一次试验. 1.Schrödinger方程 作为低能(非相对论)、无衰变(粒子数守恒)量子力学的基本原理之一,薛定谔方程用于描述微观系统的状态 式用 由分析力学知识,我们知道 正则方程: 联立这三个式子即可. 当 若 同时有
含时薛定谔方程方程的一般解视为所有定态解的叠解: 我们记体系初始状态
上述薛定谔方程不可用于狭义相对论框架下,主要是因为式中哈密顿量是在非相对论条件下得到的. 如果直接把自由粒子的哈密顿量写成 代入坐标表象下的薛定谔方程得 根据相对论能量关系 存在对应关系 于是得到 此即单个自由粒子的K-G方程. 在量子场论中,我们有时会把K-G方程写作
当K-G方程被提出时,科学家们发现其计算氢原子能量本征值与实验差异很大,且不能直接拓展到矢量场中的粒子上. 但是该方程退化后一样能得到原始的薛定谔方程,试一次将量子理论融入相对论框架的尝试,并在之后的量子场论等发展中起到一定作用. 3.Dirac方程K-G方程的问题出在态函数上,而不是相对论条件. 鉴于此,我们出发寻找一个要求更高的方程. 这样的方程首先该对时间是一阶的,这才符合我们对量子力学框架的认识;根据相对论时空观,这个方程对x, y, z也该是一阶的. 我们可以假设有 其中是 将上式与K-G方程移项后比较,推知系数应满足关系: 我们把这样的方程成为自由粒子的狄拉克方程,简记为
如果取 此为狄拉克方程的洛伦兹协变形式,已采用指标求和. 在量子场论中,我们有时也把狄拉克方程写作
值得一提的是,如果我们其自由粒子的哈密顿为 狄拉克的理论是一种相对论性量子力学理论. 从狄拉克方程出发,之后得到电子的自旋性质是自然而然的,我们其实不必认为电子自旋是根据实验结果对量子力学基本原理的修改. 需要注意,狄拉克方程适用于有质量的自旋1/2粒子. *4.Weyl方程一般认为费米子有三种:Dirac费米子、Majorana费米子和Weyl费米子. 电子就是狄拉克费米子,这样的粒子的性质与其反粒子不同,大部分费米子都属于这种,我们可以用狄拉克方程描述;马约拉纳费米子的反粒子就是其本身,在研究超导元激发时会引入这样的准粒子;外尔费米子是一种无质量费米子,目前已被实验发现. 以下已使用自然单位制. 考虑场 方程两边同时再对t求导得 为满足相对论协变性,取 得到外尔方程
可以看出 关于粒子自旋和量子力学的其他有趣的内容,我打算放在以后继续补充. 参考资料喀兴林《高等量子力学》 王正行《简明量子场论》 |
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