描述该点上方和下方系统中发生的情况；

并了解当时实际发生的事情。

其中大部分已因伯努利渗流而闻名，这是一种简单的模型，其中黑边的存在与否是通过独立的硬币翻转来确定的。但对于大多数渗流模型，情况并非如此。相反，格子的某一部分存在黑边会影响其他地方是否有黑边。由于这些长期依赖关系，这样的渗流模型更难理解。

但它们也是更好的现实模型。黑色边的路径可以代表自然系统不同部分之间的相关性或通信通道，如磁铁。事实上，杜米尼尔-科平经常使用相关的渗流模型来深入了解 Ising伊辛模型，该模型用于研究铁磁体和相关系统的行为。

然而，在他这样做之前，他必须弄清那些依赖的渗流模型。他的第一个成功之一是为一大类二维相关渗流模型确定临界点——相变发生的概率阈值(https://link.springer.com/article/10.1007/s00440-011-0353-8）。他和数学家Vincent Beffara得到的公式也产生了伯努利渗流的已知答案。“这在某种意义上是故事的开始，”杜米尼尔-科平说。

他接下来想了解系统在临界点之上和之下的行为。在它之下，晶格上的连通组件都是有限的。但它们有多小？Hugo Duminil-Copin与 Tassion 和Aran Raoufi一起证明了他们很小。

找到一个大的连接组件——一个巨大但有限的连接黑边岛——的概率随着该岛的所需大小变得越来越大而迅速下降。也就是说，当你考虑距离彼此越来越远的点时，两个点位于同一连通组件的概率呈指数下降。

类似地，在临界点之上，与无限并存的有限连通组件也很小。

这个属性被称为“锐度”（sharpness），Hugo Duminil-Copin和他的同事们使用分析和计算机科学的工具，在所有维度的一类主要依赖渗流模型中证明了这一点：

https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-189/issue-1/Sharp-phase-transition-for-the-random-cluster-and-Potts-models/10.4007/annals.2019.189.1.2.short

为了推广渗流理论，这个结果（也发表在年鉴上）“是我长期以来目标的基石之一，”他说。

这是因为许多其他与临界点以上和以下相关渗流模型的行为有关的证明都假设该属性是一个猜想。结果，一旦杜米尼尔-科平得到证明，其他结果就立即出现了，这些结果提供了对某些数量和特征（例如连接组件的形状）的洞察力。

Mark Braverman的职业生涯一直在将棘手的问题转化为信息复杂性的语言。

到他 17 岁时，马克·布雷弗曼已经在三个国家生活过，并且会说同样多的语言。但尽管没有家乡，但他很快就把理论计算机科学称为自己的家。“理论计算机科学就是你想要的任何东西，”他在普林斯顿大学通风良好的办公室里说道，他坐在一块写满数学方程式的白板和一堵装饰着家庭照片的墙壁之间。

十多年来，38 岁的布雷弗曼一直在开发一种具有变革意义的交互通信的新理论，扩展和丰富了克劳德·香农八十年前开始的开创性工作。布雷弗曼不断发展的框架允许研究人员将“信息”和“知识”等抽象概念转化为精确的数学术语。

因此，他们可以将难题重铸为更精确的陈述。该计划带来了对计算局限性的新见解，并直接说明了人们在线互动的方式。

数学奇迹

布雷弗曼是一位数学家母亲和一位物理学家父亲的儿子，他于 1984 年出生在俄罗斯彼尔姆市，这是一个靠近乌拉尔山脉西坡的工业城市。随着苏联解体及其引发的不稳定，1992 年，他 8 岁时，这个年轻的家庭搬到了以色列的海法。

虽然他一直被数学和计算机编码所吸引，但布雷弗曼说他的父母从不强迫。“他们让我对数学感到满意，”他说。

他还表现出早期的学科天赋：

寻找答案

布雷弗曼最大的贡献是建立了一个广泛的框架，该框架阐明了描述交互式通信边界的大而通用的规则——这些规则为通过算法在线发送数据时提出压缩和保护数据的新策略提出了新的策略。

以前的研究人员研究了两个人如何来回发送信息，特别是在一个人可能什么都不知道或者他们没有重叠信息的简单情况下。在 1970 年代，计算机科学家研究并解决了如果两个人一开始就有一些重叠信息会发生什么情况。但布雷弗曼和他的合作者首先证明这些交换是计算任务，而不是数据传输任务。

例如：想象两个人每个人都有一个动物列表和一个协议，这是一种来回发送消息的方式。他们想确定他们有哪些共同的动物，如果有的话，以及要弄清楚这一点需要付出多少努力。

在这种情况下，每个人都有一些信息开始（他们知道他们在谈论动物），并且每条消息都会添加到该信息中。信息的增加与以比特为单位的通信成本有关，布雷弗曼和Rao在 2011 年的一篇论文使这种联系比以往任何时候都更加紧密。

这一证明使他们对沟通产生了其他见解，包括一个称为直和问题的问题版本。它涉及成本问题：解决一个问题的多份副本是否与解决一次并乘以重复次数具有相同的通信成本？还是有“批量折扣”？在数据传输的情况下是否成立。

但布雷弗曼和Rao表明，对于交互式情况，该问题相当于一个看似无关的问题，称为“交互式压缩”问题。这问如果两个人交换一百万条短信但只学习 1000 位信息，是否可以将交换压缩为 1000 位？使用 布雷弗曼 和 Rao 的工作，研究人员已经证明答案是否定的。

信息论和计算复杂性之间的这种联系也促使布雷弗曼在两个或更多人之间共享数据时寻找优化数据压缩的新方法——这是在线通信的核心。

在 2011 年至 2020 年期间，布雷弗曼和他的合作者描述了压缩两方或多方之间共享信息的数学规则。这项工作引发了其他问题；例如，他还与他的合作者和学生一起研究了对话类型如何引发沟通成本。

布雷弗曼不仅破解了这些问题。他引入了一种新的视角，允许研究人员首先将它们表达出来，然后将它们翻译成数学的正式语言。布雷弗曼的理论为探索这些问题和确定可能出现在未来技术中的新通信协议奠定了基础。

June Huh（许埈珥，韩裔美国人） 经常发现自己迷失了方向。每天下午，他都会在普林斯顿大学附近散步，他是该校数学系的教授。

在五月中旬的这一天，他正在穿过附近的高等研究院周围的树林——“你知道，”他一边说，一边考虑前方的岔路，“我不知道我们在哪里”——不时停下来指着躲在树叶下或树后的野生动物的微妙动作。

在接下来的两个小时的漫步中，他发现了一对青蛙、一只红冠鸟、一只顶针大小的乌龟和一只快脚狐狸，每一种动物都有自己的安静观察时刻。

“我非常擅长寻找东西，”他说。“这是我的特殊能力之一。”

39 岁的 Huh 现在被授予菲尔兹奖，这是数学界的最高荣誉，因为他能够在数学领域漫游并找到正确的对象——然后他用这些对象让看似不同的几何学和组合学领域进行对话，并以新的和令人兴奋的方式相互交流。

从研究生院开始，他解决了组合数学中的几个主要问题，通过其他数学分支开辟了一条迂回路线，以深入每个证明的核心。每次找到那条路都像一个“小奇迹”，Huh说。

对于他进入数学本身的道路，人们可能会说同样的话：它的特点是多次徘徊和一系列小奇迹。在他年轻的时候，Huh 并不想成为一名数学家。他对这个主题漠不关心，他从高中辍学成为一名诗人。在他的大学时代，他需要一次偶然的机会——以及许多失落的时刻——让他发现数学拥有他一直在寻找的东西。

从那以后，这种诗意的绕行对他的数学突破至关重要。根据他的同事的说法，他的艺术性体现在他发现那些恰到好处的作品中心的方式，以及他在他所做的每一件事中寻求更深层次意义的方式。

“数学家很像艺术家，我们真的在寻找美，”旧金山州立大学的数学家、Huh 的合作者之一Federico Ardila-Mantilla说。“但我认为在他的情况下，这真的很明显。我真的很喜欢他的口味。他创造了美丽的东西。”

辍学者

在任何一天，Huh 都会专注于大约三个小时的工作。他可能会思考一道数学题，或者准备给学生讲课，或者为他的两个儿子安排医生的预约。“我累死了，”他说。“做一些有价值的、有意义的、有创意的事情”——或者他不想做的任务，比如安排这些约会——“会消耗你很多精力。”

听他说，他通常无法控制他决定在这三个小时内专注于什么。2019年春天的几个月里，他所做的一切都是阅读。

他有一种想重温年轻时第一次读到的书的冲动——包括罗马皇帝马可·奥勒留（Marcus Aurelius）的《沉思录》和德国作家赫尔曼·黑塞的几本小说——所以他就这么做了。“这意味着我没有做任何工作，”Huh 说。“所以这是个问题。” （不过，他从那以后就接受了这种限制。“我曾经试图抵制……但我终于学会了放弃这些诱惑。”结果，“我在无视最后期限方面变得越来越好。”）

他发现强迫自己做某事或定义一个特定的目标——即使是他喜欢的事情——也行不通。他特别难以将注意力从一件事转移到另一件事上。“我认为意图和意志力……被严重高估了，”他说。“你很少用这些东西取得任何成就。”

从他年轻的时候起，情况就是如此。他于 1983 年出生在加利福尼亚州，他的父母正在那里完成研究生学习。然后，当 Huh 大约 2 岁时，全家搬到了韩国首尔。在那里，他的父亲教统计学，他的母亲教俄语和文学。

学校对他来说很痛苦。他喜欢学习，但在课堂环境中无法集中注意力或吸收任何东西。相反，他更喜欢自己阅读——在小学时，他读完了一本关于生物的百科全书的全部 10 卷——并探索了他家公寓附近的一座山。他很快就熟悉了这里的每一个角落，但他还是迷路了，有一次甚至到了一个可能存在地雷的区域。

他尽可能地避免使用数学。他的父亲曾经试图从一本练习册上教他，但他并没有试图解决问题，而是从后面抄答案。当他的父亲发现并撕掉那几页时，Huh去了当地的一家书店并在那里写下了答案。“他当时放弃了，”Huh说。

当他 16 岁时，在高中一年级（韩国高中有三年）中，他决定辍学写诗。他有点浪漫。“听了好听的音乐后，我真的会哭泣，”他说。他写了关于自然和他自己的经历。他计划在他必须上大学之前的两年内完成他的杰作。“所以那没有发生，”他笑着说。

他发现写作过程过于关注自我——对他来说，这种探索往往是痛苦和沮丧的。此外，正如他后来意识到的那样，“我想成为一个能写出伟大诗歌的人，”他说。“我不想写出伟大的诗歌。” 现在他认为那个版本的自己几乎是一个完全陌生的人。

当他 2002 年进入首尔国立大学时，他感到飘忽不定。他短暂地想成为一名科学作家，并决定主修天文学和物理学。但他经常逃课，不得不重修几门课。“我只是迷路了，”他说。“我不知道我想做什么。我不知道自己擅长什么。”

事实证明，他毕竟擅长数学——这完全是他偶然发现的。

Maryna Viazovska是菲尔兹奖章 86 年历史上第二位获得此荣誉的女性。

与其他菲尔兹奖得主一样， Viazovska“设法完成了许多人尝试过但未能做到的完全不明显的事情，”数学家亨利·科恩说，与其他人不同的是，“她通过揭示非常简单、自然、深刻的结构来完成这些工作，这些结构是没有人预料到的，也没有其他人能够找到的。

二阶导数

在一个下雨的五月下午，在EPFL瑞士洛桑联邦理工学院（被称为数学、物理和工程领域的领先研究型大学——它有时被称为欧洲的麻省理工学院）。

在一个自行车和行人两用车道的尽头的一条小高速公路下，校园生活的田园般的标志映入眼帘：装满自行车的巨大两层架子，适合科幻城市景观的模块化（此处也是双关语，数学名词——模，zzllrr小乐译注）建筑，以及中央广场两旁是教室、餐馆和乐观的学生海报。

广场之外是一个现代化的图书馆和学生中心，它以三维曲线上升和下降，让学生们在里面和外面走来走去。从下方可以通过圆柱形轴看到天空，这些轴像瑞士奶酪一样穿过拓扑结构。

不远处，在其中一个模块化结构内，一位持有安全门禁卡的教授打开了通往数学系内部密室的橙色双门。经过诺特、高斯、克莱因、狄利克雷、庞加莱、科瓦列夫斯基和希尔伯特的肖像，矗立着一扇绿色的门，上面简单地标着“玛丽娜·维亚佐夫斯卡教授，数学主席。”

办公室里面是闲置的和实用的：只有一台电脑、打印机、黑板、文件和书籍，几乎没有个人物品。魔法发生的地方与其说是时空中的物理位置，不如说是维亚佐夫斯卡脑海中一个更高维度的抽象世界。

在她办公室的小桌子对面，这位世界杰出的装球数论家开始以她惯常的实事求是的方式讲述她的故事。渐渐地，她打破了形式，微笑了，她的眼睛亮了起来，向上抬起，她在唤起过去的记忆的同时变得更加活跃。

最早的记忆是 3 岁时和祖母一起从她家廉价公寓楼（以前苏联领导人尼基塔·赫鲁晓夫命名）沿着一条宽阔的林荫大道走到地球化学家弗拉基米尔·维尔纳德斯基的纪念碑，她的祖母在那里举起她起身，将她抛向空中。

现年 37 岁的维亚佐夫斯卡说，1980 年代后期对苏联来说是一段艰难的时期。“人们花了很多很多时间来购买基本的东西。” 当一家商店的黄油或肉类等商品供不应求时，她的母亲会为她的三个孩子多带一些而感到难过，并担心排长队的其他人会生她的气。

她的家人几乎一无所有，但她的父母确保她和她的姐妹们永远不会挨饿或没有暖气。没有商店出售漂亮的衣服，但有时工人们有机会赢得一双捷克斯洛伐克制造的时尚鞋，作为他们做好工作的激励。她的母亲向她解释说，这双鞋可能不合脚，但如果你中了一双，可以与赢得你尺码的人交易。

“我 6 岁时，苏联解体了，”维亚佐夫斯卡说。她的家人很高兴能生活在一个自由独立的乌克兰，但恶性通货膨胀只会加剧他们的经济困境。在苏联，有钱却没有东西可以花。乌克兰独立初期，有货，但没钱买。她的母亲一直担任工程师直到 1995 年，在工作的最后一年，她告诉女儿，她的月薪无法支付地铁票。

维亚佐夫斯卡将她的父亲描述为一位“精力充沛”并具有“创业精神”的前化学家，回忆起他是如何辞去工作并通过一家又一家地创办一家小企业来接受新现实的。她说，新的现实是混乱和不可预测的。“有一天，你没有多少。然后还有另一个机会，你有很多。”

尽管如此，维亚佐夫斯卡和她的丈夫、EPFL 的物理学家丹尼尔·埃夫图辛斯基（Daniil Evtushinsky）仍然记得，乌克兰人对经济增长前景充满希望。“在经济中，重要的是衍生品，而不是绝对价值，”Evtushinsky 说，他指的是增长率对一个人的流动资产的重要性。

考虑到这个绝对值有时有多低，维亚佐夫斯卡笑着回答说：“也许是二阶导数。”

一个大胆的猜想

Viazovska 和她的合作者从堆积球体的工作中脱颖而出，抱负更高。长期以来，数学家一直怀疑E₈和 Leech 晶格不仅仅是堆积球体的最佳方式。数学家假设，这两个晶格是“普遍最优的”（universally optimal），这意味着它们是根据许多标准的最佳排列——例如，在空间中定位相互排斥的电子或在溶液中定位扭曲聚合物的最低能量方式。

为了证明E₈和 Leech 晶格在所有这些不同的环境中最小化能量，团队必须为每种不同的能量概念提出魔法函数——无限多的魔法函数。但他们只有关于这样一个神奇的函数必须如何表现（如果它存在的话）的部分信息。

他们知道函数在某些点上的值，在其他点上他们知道傅里叶变换的值，它测量函数的固有频率。他们还知道函数及其傅里叶变换在特定点变化的速度有多快。问题是：这些信息是否足以重构函数？

维亚佐夫斯卡做了一个大胆的猜想：团队掌握的这些信息正好可以确定魔法函数。再少一点，就会有很多适合的函数。再多的话，该函数就会受到限制而无法存在。

科恩对此表示怀疑。维亚佐夫斯卡的提议是如此简单和根本，以至于“如果这是真的，人类肯定已经知道了，”他当时想。他也知道维亚佐夫斯卡没有轻率地猜测。“我仍然想，'这有点在碰她的运气。'”

Viazovska 和 Radchenko 首先设法证明了她猜想的简化版本，其中信息仅限于函数的值及其傅里叶变换，而不是它们变化的速度。

然后，与他们的球堆积合作者一起，他们想出了如何证明完整的猜想——这正是证明E₈和 Leech 晶格是普遍最优的所需要的。科恩说，似乎在试图理解这些晶格的过程中，“玛丽娜也在推动傅里叶分析的最新技术。”

纽约大学的Sylvia Serfaty说，由此产生的论文（https://annals.math.princeton.edu/articles/17703）与 19 世纪的重大突破不相上下，当时数学家解决了许多困扰他们前辈几个世纪的问题。“这篇论文确实是科学的一大进步，”她当时告诉量子杂志。“要知道人脑能够产生类似的证据，对我来说这是一个非常了不起的事实。”

References

[1] https://mp.weixin.qq.com/s/kh-szLIBXPCBQ-HkKRii4g

[2] https://mp.weixin.qq.com/s/pUHlWr7MG_eiMZKBZmtJdQ

[3] https://mp.weixin.qq.com/s/kv-6hPWku2bMkile5lf7gQ

[4] https://mp.weixin.qq.com/s/bScZnsrFfTZPf1HnmoexuA返回搜狐，查看更多