《高观点下的初等数学》由F.克莱因的助手根据他在哥廷根大学讲课内容整理而成。60多年过去，数学面貌已有很大变化，我国目前的数学教育和德国当年也有很大差异。我们阅读这书时，对此必须注意。尽管如此，我们读来，对其内容和观点，仍然感到十分亲切。 这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理。当时德国数学教育中的不少问题，在今日我国仍然存在。克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发。

数学科学的整体性和数学教育的连续性

要想用一两句话来概括《高观点下的初等数学》这本丰富多彩的书的特色，是困难的。也许可以说：它所展示的数学科学，是一个不断发展着的有机整体；克莱因所设计的数学教育，是一个随着数学发展而不断更新的连续过程。 正如书名《高观点下的初等数学》所示，书的着眼点是初等数学，观点却是高等数学。数学各个分支，特别是数学两个基本对象——形与数结合起来了。讲算术、代数、分析时，总是充分运用丰富的几何图像。而讲几何时，用的是代数工具，又不乏几何语言。它还以大量篇幅阐述数学的各种概念和方法的发展与完善过程以及数学教育演化的经过。这些进程还在继续。

高观点

在《高观点下的初等数学》的前言中， 克莱因指出大学和中学数学教育的“双脱节”现象：大学生感到，他正在学的东西和中学学过的无关，而当他们到中学任教时，大学所学的用不上，因而那些内容就只存在于美好的记忆中。本书的直接目的自然是要改变这种不合理现象，以便把数学的新进展中所产生的新观念渗入中学数学教育中，按我们现在的说法，就是使数学教育“现代化”。

克莱因所采用的书名表明， 他认为教师应具备较高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单。例如在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看，就清楚了；在欧氏空间里某些不好解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明。下面分别举两个具体的例子。

克莱因指出，在中学，关于对数的传统讲法是有明显漏洞的。他建议把对数函数作为等角双曲线下的面积来引进，既简单又明确。他又指出，在复数域里，对数是多值函数，作为实函数的对数只是其中无数多个值之一。所以，在复数域里，对数函数的本质才看得清楚。我们的教师，无论是否愿意（或可能）采纳克莱因所建议的引进对数方式，有一点是可以肯定的：如果他了解作为复数的对数函数，当他讲实数时，就会心中有数，有可能弥补漏洞，至少当学生提出疑问时，他能正确回答，应付裕如。

通过变换群来阐明不同几何的本质及其相互关系，本是克莱因的伟大创见之一。《高观点下的初等数学》用了很大篇幅来论述欧氏几何、仿射几何和射影几何的关系。我认为，中学几何是欧氏几何，但也涉及图形的仿射性质（如三角形的重心）和射影性质（如三点共线）。如果教师能区别各种性质，在教学中自然是有利的。克莱因举了一个例子来说明局限在欧氏空间就不好理解的现象：两个二阶曲面一般相交于一条四阶曲线，但两个球面（二阶曲面）一般只相交于一个（实的或虚的）圆（二阶曲线）。原来，从射影空间观点看，可以认为，两个球面还相交于“无穷远虚圆”，而两个圆在一起，恰好构成一条（退化的）四阶曲线。

教师应是多面手

克莱因对教师的要求是很高的。《高观点下的初等数学》涉及的面很广。除正文4大部分外，还有两个附录：“数e和π的超越性”和“集合论”。每一大部分的写法和通常写法都很不相同，且其内容有不少超出通常写法的习惯范围。例如在“算术”部分写了四元数；在“几何”部分写了高维（以至无穷维）空间，并且随时讲到历史和应用。显然，克莱因认为，教师对这些都应当掌握或了解。 他认为，大学生学到的具体东西不少，而许多重要的，以及在中学任教中用得着的东西却往往被忽视了。《高观点下的初等数学》就着眼于弥补这些缺憾，揭示数学各部分之间的联系，指出它们的共性，它们产生与成长的内因、外因和过程以及它们的应用，等等。 克莱因认为，教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬岩，渡过险滩。他喜欢用“融合”这个词。《高观点下的初等数学》也确实体现了初等数学同高等数学的融合，数学各部分的融合，几何观念和算术观念 （在这里以及许多其他地方，“算术”是广义的，用来表示纯几何的对立面，包括代数和分析）的融合，感性与理性的融合（甚至一维、二维、三维空间的融合），等等。可以认为，全书是以上各种融合的融合。强调这一切，是为了使大学生和教师对数学有较全面的观点，有较高的修养。

数学发展的历史

克莱因反复强调的一个教育原则是按照学生的认知规律（包括年龄及成熟程度）进行教学。具体地说，要由简单到复杂，由低到高，由感性到理性等。 他讲数学历史，是因为，他认为学生对数学的认识，在某种意义上，是与人类对数学认知的历史过程相应的。当然，这绝不是说，学生的认知要重复历史上人类的认知。

在讲述数学的历史时，克莱因强调对事物认识深化的必然性（这不排除偶然性）。某些新概念的出现，是由于客观条件已经成熟而非产生不可。例如他指出，负数和复数的出现，是不以数学家的意志为转移的。非欧几何产生后，许多数学家是被迫承认它的。微积分由粗糙到严格，有着艰辛的历程。函数概念和几何对象范畴等的演化，都有过漫长的过程。我以为，了解一些历史是很有意义的；我们的课程往往分别构成首尾完整的逻辑体系。学生在学习中很难充分领会到数学是如何逐步成长起来，它又将如何继续发展。

公理体系

《高观点下的初等数学》多处谈到公理体系，特别是关于数的公理和几何公理。克莱因认为，公理不能脱离直觉，不能排除人对客观事物的认识。因而反对那样一种观点：认为公理可以随心所欲地选取，只要它们彼此相容，即不产生矛盾就可以了。他还认为，不能按照公理体系进行教学。因为这首先不符合学生的认识规律。逻辑不是数学教学中的唯一指导思想。此外，他还有一个更深刻的理由。 他把数学比作一棵树，公理比作树的根，当树逐渐长大时，躯干和枝叶向上长，同时根也向下长。因此既没有最后的终点，也没有最初的始点，即没有进行教学的绝对基础。至于教师，之所以要了解公理对数学的作用和意义，则是和他对教师的要求一致的；公理体系在数学作为一个演绎的逻辑结构中，毕竟占有极其重要的地位，不了解它就不能了解数学的本质和全貌。而在教学中，教师固然要考虑大多数学生的兴趣和接受能力，同时他又应能满足一些才华出众的学生的求知欲望，适当地回答他们可能提出的问题。

尺规作图和费马大定理

这两个问题在《高观点下的初等数学》中并不占重要位置，但克莱因对它们的几句精辟议论，却可以用来作为对我们许多青少年学生和业余数学爱好者的忠告。《高观点下的初等数学》较详细地讨论了用圆规和直尺作图问题。在谈到三等分角问题 （即只用直尺和圆规把一个任意给定的角分为三等分的问题，是所谓“几何三大问题”之一，另外两个问题是“化圆为方”和“倍立方”。它们是古老的课题，但早已证明都是不可能的。化圆为方问题同圆周率的超越性有关，其他两问题之不可能是用算术方法来证明的）时，克莱因指出：许多人拿出自己的“解法”，希望别人指出错误所在，但他们的知识基本上限于初等几何，又不肯去了解利用算术方法早已作出的不可能性证明。为了使读者对这种算术证明有所了解，以便当他们接到送来的“解法”时，能站稳脚跟，他给出了用直尺和圆规不可能作正七边形的证明。

费马大定理最近几年才有了重大突破，但尚未最后解决。 （费马大定理已由英国数学家安德鲁·怀尔斯于1994年证明。）《高观点下的初等数学》对这个“定理”的含义有个十分有趣的图解，对它的历史直到克莱因时代的研究状况有简明的介绍。克莱因指出，自从1907年人们获悉解答这问题（即证明或否定费马大定理）的人会得到高额奖金后，就出现了大量的“证明”。这些人属于各行各业，但他们有一个共同点：完全不了解探索这个问题所遇到的严重数学困难，也不想去了解困难所在，只妄想靠突发的灵感就一下子加以解决。他们的结果当然是毫无意义的。

以上对《高观点下的初等数学》的管窥蠡测，不求全面，但求无大错，可告无罪于该书作者和本文读者。希望我国有更多人像克莱因那样关心数学教师的培养与提高，关心数学教育改革，并为此做些实事。《高观点下的初等数学》中译版的现实意义就在于，它将促进这两方面工作的进程。但是德文本出版已过了64年，英译本出版也过了50年。现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷。但是 数学的本质与真理是永恒的，像克莱因那样探索数学教育的规律，当是一以贯之的。我们热切希望我国高水平的数学多面手写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》。这样一本书出版，将是我国数学教育史上的一件大事。

1989年6月于南开大学

摘自《高观点下的初等数学》（第一卷）

启蒙数学文化译丛

“启蒙数学文化译丛”为数学教育领域经典作品的中译本，旨在帮助读者启发数学兴趣、探究数学本质、提高数学素养，从而促进我国的数学教育。

丛书已出五册，分别为《精彩的数学错误》《数学的精神、思想和方法》《数学思想简史》《数学 : 科学的女王和仆人》《高观点下的初等数学》，另一册《数学的历程》待出，丛书的作者均为数学教育领域的大家。

《高观点下的初等数学》（全三卷）

[德]菲利克斯·克莱因/著

舒湘芹 陈义章 杨钦樑/译 齐民友/审

198.00元

作者简介

菲利克斯·克莱因 ，德国杰出的数学家、数学史家和数学教育家，现代国际数学教育的奠基人，对数学研究和数学教育产生了巨大影响，在数学界享有崇高的声望。

克莱因早年在群论、复变函数论和非欧几何等领域取得了卓越的成就，1872年发表的埃尔朗根纲领是几何学划时代的贡献。他是哥廷根学派公认的领袖，将许多顶尖人才吸引到哥廷根大学，创造了科学研究的辉煌，为推动德国现代化发挥了巨大的作用。

《数学的历程》（即将出版）

[美]E.T.贝尔/著 李永学/译

148.00元

内容简介

本书是20世纪公认的杰出数学史家、重要数学家E.T.贝尔扛鼎之作。它不是一部传统的数学史，是对数学发展的关键时期、主导思想和典型事件的生动叙述，是对数学意义和数学历史的权威解读。在这部杰作里，作者广泛介绍了数学在文明演进中扮演的角色，清晰描述了公元前4000年以来数学发展史中的主要原理、方法和理论，巧妙地勾勒出数学发展历程的主导脉络。书中有对数学理论的专业探讨，有对重要数学事件的独特分析，也有对数学家戏剧性冲突的幽默评论，分析独到，言辞犀利，是一部经典、权威、独特的数学史佳作。

《数学 : 科学的女王和仆人》

[美]E.T.贝尔/著 李永学/译

94.00元

内容简介

美国著名数学家、数学史家E.T.贝尔经典名作

一本书读懂数学与科学之间的关系

本书从历史的角度，深入浅出地探讨了数学与科学之间的关系，对代数、几何、数论、微积分、概率等数学概念和理论的发展，及其在科学中的应用，做出了有趣的分析，是经典的数学史著作。作者主要利用物理学和天文学去阐释数学理论的科学应用，讨论了毕达哥拉斯、阿基米德、牛顿、莱布尼茨、高斯、罗巴切夫斯基、伽罗瓦、黎曼、麦克斯韦、爱因斯坦等伟大人物的贡献。语言幽默、犀利，既有对数学概念的严谨分析，又有对趣闻逸事的生动叙述，有助于读者了解数学史、数学哲学以及数学技术的现代发展。

《数学思想简史》

[英]卢克·希顿/著 李永学/译

72.00元

内容简介

一部难得的数学课外读物，传达数学文化和数学之美

一部简明有趣的数学思想史， 揭示数学对人类文明进程的影响

本书是一部简洁易懂、兼顾历史叙述与主题讨论的数学思想指南。作者从数学语言和概念演变的角度入手，生动地阐述了古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德如何塑造了早期数学逻辑，斐波那契数列、代数的兴起及微积分的发明之间的牵连，以及20世纪图灵在计算概念上的革命工作对现代世界做出的重要贡献。从石器时代的仪式到代数、微积分、无穷和计算的概念，数学语言的每一次演变，都促进了新技术的发展，影响了人类对世界的理解和探索。本书不仅回溯了数学实践的迷人历史，还展现了数学在人类理解世界的过程中扮演的重要角色。

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一部简明有趣的数学思想简史：数学语言是如何进化的？

《数学的精神、思想和方法》

[日]米山国藏/著 毛正中 吴素华/译

78.00元

内容简介

本书是非常有影响的数学教育名著，精辟论述了数学的精神实质、 思想、方法，为读者勾画出了整个近代数学的沿革和它多姿多彩的面貌。对于如何向学生传授数学的精神、思想和方法，作者提出了很多有价值的见解。本书风趣生动，仿佛是一位长者在讲述一个曲折、奇妙又颇具启发性的故事。本书是长销不衰的数学启蒙佳作，深受数学教师和数学爱好者的欢迎。

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《精彩的数学错误》

[美]阿尔弗雷德·S. 波萨门蒂尔

[德]英格玛·莱曼/著 李永学/译

72.00元

内容简介

这是一部探究“数学错误”独特价值的极简数学史。 两位资深的数学教育家用生动的笔触分析了数学史上各种“精彩的数学错误”，做出了令人意外的解答：在数学研究过程中，即使方法、步骤正确，结果也可能会是错误的；但是“数学错误”有可能带来意想不到的发现，甚至成为重大突破的开端。

本书行文流畅，内容丰富，阅读它不需要太高深的 数学知识，但无论是数学高手还是初学者都能从中获得乐趣和启发，从而更好地把握数学的特征与规律。

本期编辑：Mozi返回搜狐，查看更多