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第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3　正方形（第2课时）教学目标1.掌握正方形的判定定理，并能进行相关计算与证明.2.能运用正方形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明.3.在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高分析问题与解决问题的能力.教学重难点重点：根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理.难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形的性质与判定定理的灵活运用.教学过程导入新课由课件展示下面的问题八年级（2）班的小兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太像正方形.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起方巾的一组对角，让她看另一组对角是否对齐，她还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让她检验，比较之后小兰同学终于买下了这块纱巾.你认为她买的这块纱巾是正方形的吗？采用什么方法可以检验出来？学了这节后，你就能做出准确的判断了.教师：上一节课我们学习了正方形的概念和性质，这一节课我们将探讨正方形的判定.思考：具备什么条件的平行四边形是正方形？教师提示：从正方形的定义入手考虑.几何语言：如图1所示，在平行四边形ABCD中，∵ AB＝BC，∠A＝90°，∴ 平行四边形ABCD是正方形.教师：除了用定义法判定一个四边形为正方形外，我们还有哪些方法呢？学生猜想：1.有一个角是直角的菱形是正方形；2.有一组邻边相等的矩形是正方形.探究新知猜想1：有一个角是直角的菱形是正方形.图1已知：如图1所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝90°.求证：四边形ABCD是正方形.分析：要证明四边形ABCD是正方形，可用“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”来证明.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形.几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形.猜想2：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：如图1所示，四边形ABCD是矩形，AB＝BC.求证：四边形ABCD是正方形.分析：要证明四边形ABCD是正方形，可用“有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”来证明.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形.∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是正方形.几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴ 四边形ABCD是正方形.讨论1：对角线相等的菱形是正方形.图2已知：如图2所示，四边形ABCD是菱形，且对角线AC＝BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形.∵ AC＝BD，∴ 四边形ABCD是矩形.∵ AB＝BC，∴ 四边形ABCD是正方形.几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，AC＝DB，∴ 四边形ABCD是正方形.讨论2：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形.∵ AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形.∵ ∠ABC＝90°，∴ 四边形ABCD是正方形.几何语言：∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是正方形.新知应用图3例1　已知：如图3所示，四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作l1∥l2，过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，直线MB，DN分别交l2于Q，P两点.求证：四边形PQMN是正方形.分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM＝DN，用同样的方法证AN＝DP，即可证出MN＝NP，从而得出结论.证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，∴ ∠PNM＝∠AMB＝90°，PN∥QM.∵ PQ∥NM，∴ 四边形PQMN是矩形.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角），∴ ∠1+∠2＝90°.∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3.又∵ ∠AMB＝∠DNA＝90°，∴ △ABM≌△DAN.∴ AM＝DN.同理可得AN＝DP.∴ AM+AN＝DN+DP，即MN＝PN，∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.图4例2　如图4所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，还需增加的一个条件是　　　　.解析：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，所以四边形ABCD是菱形.当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形（两条对角线相等的菱形是正方形）.答案：AC＝BD（答案不唯一.如∠ABC＝90°，OA＝OB，∠BAD+∠BCD＝180°等）课堂练习（见导学案“当堂达标”）参考答案当堂达标1.①×；②×；③×；④√；⑤√　2.D　3.B4.C　解析：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.∵ △AEF是等边三角形，∴ AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°，∴ ∠BAE+∠DAF＝30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵ Rt△ABE ≌ Rt△ADF（HL），∴ BE＝DF，①正确.∵ △ABE≌△ADF，∴ ∠BAE＝∠DAF，∴ ∠DAF+∠DAF＝30°，∴ ∠DAF＝15°，②正确.∵ BC＝CD，∴ BC-BE＝CD-DF，即CE＝CF.∵ AE＝AF，∴ AC垂直平分EF，③正确.设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，∴ AE＝x，CG＝EG＝x，∴ AG＝x，∴ AC＝，∴ AB＝，∴ BE＝-x＝，∴ BE+DF＝x-x≠x，④错误.∵ S△CEF＝，S△ABE＝＝，∴ 2S△ABE＝＝S△CEF，⑤正确.综上所述，正确的结论有4个.5.证明：（1）∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD.在△ABD与△CBD中，∵∴ △ABD≌△CBD（SAS），∴ ∠ADB＝∠CDB.（2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD，∴ ∠PMD＝∠PND＝90°.∵ ∠ADC＝90°，∴ 四边形MPND是矩形.∵ ∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴ PM＝PN.∴ 矩形MPND是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.6.（1）证明：∵ DE∥AC，DF∥AB，∴ 四边形AEDF是平行四边形.又∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠CAD.∵ DE∥AC，∴ ∠EDA＝∠CAD，∴ ∠BAD＝∠EDA，∴ EA＝ED，∴ 平行四边形AEDF是菱形.（2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形.理由：由（1）知四边形AEDF是菱形.又∵ ∠BAC＝90°，∴ 菱形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.课后提升（1）证明：∵ O为AB的中点，OE＝OD，∴ 四边形AEBD是平行四边形.∵ AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝90°，∴ 平行四边形AEBD是矩形.（2）解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形.理由：∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴ AD＝BD＝CD.由（1）得四边形AEBD是矩形，∴ 四边形AEBD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.课堂小结1.通过本节课的学习，你有什么收获？2.正方形的判定；（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形.布置作业教材第60页练习第3题.板书设计18.2.3　正方形（第2课时）正方形的判定： 1.有一组邻边相等的矩形是正方形； 2.有一个角是直角的菱形是正方形. 例1 例2

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