即使证明课本定理一直是考研数学的争议点，但是 32 年来高数课本定理的证明已经考得差不多了，其中牛顿莱布尼茨公式： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a) 便是没有考到的其中之一。

【证明】1

可知： F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C F(x)=∫ax​f(t)dt+C，其中， C C C为任意常数，则有： F ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t + C = C F(a) = \int_a^a f(t) \mathrm{d}t + C = C F(a)=∫aa​f(t)dt+C=C

F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + C F(b) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t + C F(b)=∫ab​f(t)dt+C

故， F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( t ) d t F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t F(b)−F(a)=∫ab​f(t)dt

即：

F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x F(b)−F(a)=∫ab​f(x)dx

证毕。

证明定理的争议在于在证明的过程中可不可以使用其他定理，比如我证明这道题的前提便是：“可知： F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + C F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C F(x)=∫ax​f(t)dt+C ”，所以 F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F′(x)=f(x)。但这个前提是否也需要证明，便是争议的地方。那末，我们也不妨证明一下：

【证明】2

根据导数定义： F ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 F ( x + Δ x ) − F ( x ) Δ x F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} F′(x)=Δx→0lim​ΔxF(x+Δx)−F(x)​

= lim ⁡ Δ x → 0 ∫ a x + Δ x f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t) \mathrm{d}t - \int_a^xf(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0lim​Δx∫ax+Δx​f(t)dt−∫ax​f(t)dt​

= lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x a f ( t ) d t + ∫ a x + Δ x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^af(t) \mathrm{d}t + \int_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0lim​Δx∫xa​f(t)dt+∫ax+Δx​f(t)dt​

= lim ⁡ Δ x → 0 ∫ x x + Δ x f ( t ) d t Δ x =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x} =Δx→0lim​Δx∫xx+Δx​f(t)dt​

根据积分中值定理3： ∃ ξ ∈ ( x , x + Δ x ) \exists \xi \in (x, x+\Delta x) ∃ξ∈(x,x+Δx)，使得： ∫ x x + Δ x f ( t ) d t = f ( ξ ) ⋅ ( x + Δ x − x ) = f ( ξ ) ⋅ Δ x \int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t = f(\xi)\cdot (x+\Delta x - x) = f(\xi)\cdot \Delta x ∫xx+Δx​f(t)dt=f(ξ)⋅(x+Δx−x)=f(ξ)⋅Δx

故， F ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( ξ ) ⋅ Δ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( ξ ) F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) F′(x)=Δx→0lim​Δxf(ξ)⋅Δx​=Δx→0lim​f(ξ)

当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0 时， ξ → x \xi \to x ξ→x，故 F ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( ξ ) = f ( x ) F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x) F′(x)=Δx→0lim​f(ξ)=f(x)

证毕。

那末，问题再次出现了，我们还要证明积分中值定理？

参考《牛顿-莱布尼茨公式的详细证明》 ↩︎

LaText语法参考《LaTeX 各种命令，符号》 ↩︎

《积分中值定理的证明》 ↩︎