对于任何实数 a , b a,b a,b 的所谓的著名三角不等式：

∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |a+b|\leq |a| + |b| ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

其对应的等价形式为：

∣ α − β ∣ ≤ ∣ α − γ ∣ + ∣ γ − β ∣ |\alpha-\beta|\leq |\alpha-\gamma|+|\gamma-\beta| ∣α−β∣≤∣α−γ∣+∣γ−β∣

简单证明，令 a = α − γ , b = γ − β a=\alpha-\gamma, b=\gamma-\beta a=α−γ,b=γ−β，得证。等价形式对应的实际几何意义在于，从 α \alpha α 到 γ \gamma γ 的直达距离，小于或等于经过第三点（转折） γ \gamma γ 的两短距离之和。当然，这一不等式还可对应于这样的基本事实，在任何三角形，两边之和大于第三边。

两数之间的关系，自然可以推广到 3 个数，乃至无限多个数之间的关系。

∣ a 1 + a 2 + ⋯ + a n ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋯ + ∣ a n ∣ |a_1+a_2+\cdots+a_n|\leq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n| ∣a1​+a2​+⋯+an​∣≤∣a1​∣+∣a2​∣+⋯+∣an​∣

可通过数学归纳法进行证明， ∣ a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 ∣ ≤ ∣ a 1 ∣ + ⋯ + ∣ a n − 1 ∣ |a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}| \leq |a_1|+\cdots+|a_{n-1}| ∣a1​+a2​+⋯+an−1​∣≤∣a1​∣+⋯+∣an−1​∣，因此， ∣ a s + a n ∣ ≤ ∣ a s ∣ + ∣ a n ∣ |a_s+a_n|\leq |a_s|+|a_n| ∣as​+an​∣≤∣as​∣+∣an​∣（令 a s = a 1 + ⋯ + a n − 1 a_s=a_1+\cdots+a_{n-1} as​=a1​+⋯+an−1​）

∣ a ∣ = ∣ ( a + b ) − b ∣ ≤ ∣ a + b ∣ + ∣ − b ∣ = ∣ a + b ∣ + ∣ b ∣ |a|=|(a+b)-b|\leq |a+b|+|-b|=|a+b|+|b| ∣a∣=∣(a+b)−b∣≤∣a+b∣+∣−b∣=∣a+b∣+∣b∣

因此：

∣ a ∣ − ∣ b ∣ ≤ ∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |a|-|b|\leq |a+b|\leq |a|+|b| ∣a∣−∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

根据对称性，显然 a ⇔ b a\Leftrightarrow b a⇔b，得：

∣ b ∣ − ∣ a ∣ ≤ ∣ a + b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ |b|-|a|\leq |a+b|\leq |a|+|b| ∣b∣−∣a∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣