在复习组合数学的时候，遇到这样一个问题： n个相同的球放入m个相同的盒子里，在可以有空盒和没有空盒的情况下，各有多少种方法？ n个相同的球放入m个相同的盒子，先考虑可以存在空盒的情况。 可以这样思考: 选出m个盒子，每个盒子可以放0，1，2，3…个球 （1+x的m次方+ x的2m次方+…） 再选出m-1个盒子，每个盒子放0，1，2，3…个球 （1+x的m-1次方+ x的2(m-1)次方+…） 再选出m-2个盒子，每个盒子放0，1，2，3…个球 （1+x的m-2次方+ x的2(m-2)次方+…） … 选出一个盒子，放0，1，2，3…个球 （1+x+x^2+…）

根据乘法法则，可以得到

再考虑不存在空盒的情况。 同样，按照上面的思路，唯一不同的是不存在空盒，说明m个盒子中，每个盒子至少存在1个球 所以在第一次选出m个盒子时，不能放0个球，否则至少一个盒子为空 因此 选出m个盒子，每个盒子可以放1，2，3…个球 （x的m次方+ x的2m次方+ x的3m次方…） 再选出m-1个盒子，每个盒子放0，1，2，3…个球 （1+x的m-1次方+ x的2(m-1)次方+…） 再选出m-2个盒子，每个盒子放0，1，2，3…个球 （1+x的m-2次方+ x的2(m-2)次方+…） … 选出一个盒子，放0，1，2，3…个球 （1+x+x^2+…）

第一个式子提出x^m,等于 x的m次方 *（1+x的m次方+ x的2m次方+…） 根据乘法法则，得到

而母函数G(x)中x^n的系数即为n个相同的球放入m个相同的盒子的方案数