电阻、欧姆定律、电阻率、电导率 |
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电阻、欧姆定律、电阻率、电导率
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电阻、欧姆定律、电阻率、电导率
贡献者： addis; ACertainUser; FFjet 预备知识 电流，电压1电阻器（resistor）是电路中常见的元件。该元件通常由一个参数，电阻（resistance），来衡量。在不至于混淆的情况下，也可以把电阻器简称为电阻。 理想情况下，电阻器符合欧姆定律（Ohm's law） \begin{equation} U = IR~, \end{equation} 其中 $U$ 是电阻器两端的电压（电流流入的一端电势较高），$I$ 是流经电阻器的电流，$R$ 是电阻器的电阻（$R > 0$）。
图 1：电阻器在电路中的符号
1. 被动符号规定
在电路中，一种常见的符号规定是给电路中的每一条支路预先定义一个正方向，若电流延正方向流动，那么电流为正，反之为负。若电势延正方向降低，则电压为正，反之为负。这种规定叫做被动符号规定（passive sign convention），因为当功率 $W = IU$ 为正时，元件从电路中获取能量。 欧姆定律的式 1 可以按被动符号规定来理解：如图 2 ，如果规定电阻所在的电路支路从左到右为正，那么当电流从左向右流时，$I > 0$，从右到左时 $I 
图 2：符号规范
由于 $R > 0$，所以根据式 1 ，$I, U$ 的符号始终相同，所以电阻从电路中获得的功率为 $W = IU > 0$。 2. 电阻率作为一个理想模型，柱形（例如长方体，圆柱体）电阻器的电阻为 \begin{equation} R = \frac{\varrho L}{S} ~. \end{equation} 其中 $S$ 为电阻的横截面积，$L$ 为电阻的长度，$\varrho$ 为材料的电阻率（electrical resistivity）。该公式假设内部电流密度处处相等且于柱体平行。电阻率体现了材料电阻能力，和材料性质有关，也可能会随温度，压强，光照（例如光敏电阻），等环境因素变化。我们也通常把电阻率的倒数 $1/\varrho$ 叫做电导率（electrical conductivity）。微观形式的欧姆定律为 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} ~, \end{equation} 这个公式告诉我们，电阻材料中某点的电流密度与电场成正比。 3. 电阻的简单模型
图 3：电阻的简单模型
我们这里用一个简单的经典力学模型推导上文中的概念和公式，但严格来说，这个推导需要使用量子力学和半导体理论。假设一段电阻中，自由电子的电荷密度为 $-\rho$（$\rho > 0$）为定值。 当我们在电阻两端施加电压时，内部会产生匀强电场， \begin{equation} E = \frac UL~, \end{equation} 使电子受到电场力 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = -e \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation} 同时，电子还受到一个源于电子与导体缺陷碰撞的阻力，其大小与电子速度成正比，即 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = -\alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} ~. \end{equation} $\alpha$ 即比例系数，总有 $\alpha>0$
图 4：经典理论认为电阻源自于导体中电子与缺陷等的频繁相撞。电子先在外电场下加速，然后发生碰撞，这使电子的定向动能转换为热能；然后电子继续在外电场下加速，再次相撞...这个过程相当于导体对电阻施加阻力。
电子在该电场力下加速（由于电子质量很小，加速过程很快，可以假设是一瞬间完成的），直到阻力等于电场力时加速停止，进行匀速运动。于是有 \begin{equation} -e \boldsymbol{\mathbf{E}} - \alpha \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{v}} = -\frac{e}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~, \end{equation} 所以电阻内电流密度大小为 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = -\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{e\rho}{\alpha} \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation} 电流大小为 \begin{equation} I = jS = \frac{\rho EeS}{\alpha}~. \end{equation} 代入式 4 \begin{equation} U = I \frac{\alpha L}{\rho eS}~, \end{equation} 我们定义电阻率为 \begin{equation} \varrho = \frac{\alpha}{\rho e}~, \end{equation} 然后再根据电阻率定义电阻为 \begin{equation} R = \frac{\varrho L}{S}~. \end{equation} 可见它与长度 $L$ 成正比，与横截面成反比。将式 11 代入式 12 再代入式 10 ，可得欧姆定律 \begin{equation} U = IR~. \end{equation} 式 8 也可以使用电阻率记为 \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \varrho \boldsymbol{\mathbf{j}} ~, \end{equation} 这相当于欧姆定律的微观形式。1. ^ 参考 Wikipedia 的 Resistor 和 Ohm's law 页面。 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
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