普通话有多少个元音音位这个问题，因为参与讨论的人实在太多，各种五花八门的答案都有。王志洁(1993)说是两个元音音位/ə a/，因为高元音其实是三个介音的延续；薛凤生(1986)说是三个/ɨ ə a/，高中低各一个；Wu (1994)说是4个/i u ə a/，因为[y]可以看成是/i/+/u/；郑锦全(1973)说是6个/i y ɨ u ə a/，/ɨ/用来生成表层的舌尖元音[ɿ ʅ]；Pulleyblank (1984)甚至说普通话没有元音，因为高元音[i u y]来自于介音的延续，中元音[ə]来自于不充分赋值，低元音[a]实际上是一个咽部介音。

如果不算儿化元音，端木三认为普通话是五个元音/i u y ə a/。这个五元音分析，我觉得，是现在的主流。支持五元音的音位分析的学者还有赵元任(1968)，林燕慧(1989, 2007)，Wan & Jaeger (2003)等等。

题主说的10元音分析，我不太清楚具体是谁提出的，有没有可能是《现代汉语》？因为《现代汉语》里单韵母元音正好是十个[ᴀ o ɤ ɛ i u y ɿ ʅ ɚ]。但我可以肯定的是10元音分析不是一个音位分析。普通话有多少个表层的元音音素，这个也是众说纷纭。不算儿化元音，石定栩(2016)用了13个元音符号[i ɿ ʅ y u e ɤ o ə ɛ æ a ɑ]，算是转写得比较仔细了。还要再仔细点的话，林燕慧(1989)说[e o]在开音节当中会发得更松一些，近似于[ɛ ɔ]。这样的话，[ɔ]又被加了进来，普通话就有了14个元音音素[i ɿ ʅ y u e ɤ o ə ɛ ɔ æ a ɑ]。要再算上儿化元音，那就是15个。对表层语音形式的转写当然还能更严格，比如说UntPhesoca的转写。但是有时候也要考虑到，普通话母语者能不能可靠地区分这些细微的差别。如果把表层元音放到一个不合法的环境 (比如把'天'[tʰjæn]当中的[æ]放到'贴' [tʰjɛ]的末尾并取代它的韵腹[ɛ]，也就是形成一个听起来有点怪怪的'贴'[tʰjæ])，与自然的音节进行对比，母语者是否能够区分二者之间的差别([tʰjɛ] vs. [tʰjæ])？考虑到感知上的区分，Gong & Zhang (2020)就只用了8个元音音素(不包括舌尖元音和儿化元音)：[i u y e ə o a ɑ]。

以上这些对普通话元音的分析，都是基于音节可以被切分成元音辅音的基础上去考虑的。但是是不是所有语言的音节，都能被切成一个个的元音辅音呢？游汝杰等(1980)就说，普通话有的是声母音位和韵母音位，以上的分析都是不对的，因为你根本就不能够把韵母切分成单个单个的元音。他们说，普通话有十八个"韵母音位"：[a o ɤ ɛ ɿ i u y ai ei ɑu ɤu an ən ɑŋ əŋ uŋ ɚ]，然后说[i u y]可以当韵头所以类似[iau uan]的形式就没有被列为"韵母音位"。根据这个逻辑，李蕙心和徐云扬 (2003)在国际语音学会学报上对北京话的描写就归纳了22个元音(单元音、双元音、三元音都算)：[ɹ̩ i y a ə u ɤ ai au ou uo ei ye ie ia ua uə iu iau uai iou uei]。