当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。 车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 y y y和表示车辆偏航角信息的 ψ \psi ψ。下面分析过程中，先不考虑路堤角度的影响。

首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得 m a y = F y f + F y r (1) ma_y = F_{yf}+F_{yr} \tag{1} may​=Fyf​+Fyr​(1)

其中， a y a_y ay​为车辆重心处 y y y轴方向的惯性加速度， F y f F_{yf} Fyf​和 F y r F_{yr} Fyr​为前后轮横向受到的力。平动过程中，有两种力共同作用于加速度 a y a_y ay​：车辆延 y y y轴产生的惯性加速度 y ¨ \ddot{y} y¨​和车辆绕旋转中心 O O O旋转产生的向心加速度 a c = V x ψ ˙ a_c=V_x\dot{\psi} ac​=Vx​ψ˙​。 a y = y ¨ + V x ψ ˙ (2) a_y = \ddot{y} + V_x\dot{\psi} \tag{2} ay​=y¨​+Vx​ψ˙​(2)

将公式(2)带入公式(1)得 m ( y ¨ + V x ψ ˙ ) = F y f + F y r (3) m(\ddot{y} + V_x\dot{\psi}) = F_{yf}+F_{yr} \tag{3} m(y¨​+Vx​ψ˙​)=Fyf​+Fyr​(3)

假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为 I z ψ ¨ = l f F y f − l r F y r (4) I_z\ddot{\psi} = l_fF_{yf} - l_rF_{yr} \tag{4} Iz​ψ¨​=lf​Fyf​−lr​Fyr​(4)

其中， l f l_f lf​和 l r l_r lr​代表前后轮胎到重心的距离。

上述等式(3)和(4)中都用到了轮胎横向受力情况 F y f F_{yf} Fyf​和 F y r F_{yr} Fyr​，根据实验结果知，轮胎的横向力与小的滑移角存在正比例的关系,滑移角是轮胎方向与车轮速度矢量之间的夹角。 根据上图可知 α f = δ − θ V f (5) \alpha_f = \delta - \theta_{Vf} \tag{5} αf​=δ−θVf​(5)

其中， θ V f \theta_{Vf} θVf​代表速度矢量与车辆纵轴的夹角， δ \delta δ代表前轮转向角。 同理，由于后轮转向角 δ \delta δ为0，故后轮滑移角为

α r = − θ V r (6) \alpha_r = -\theta_{Vr} \tag{6} αr​=−θVr​(6)

车辆前轮的横向力可以表示为

F y f = 2 C α f ( δ − θ V f ) (7) F_{yf} = 2C_{\alpha f}(\delta - \theta_{Vf} ) \tag{7} Fyf​=2Cαf​(δ−θVf​)(7)

其中，比例常数 C α f C_{\alpha f} Cαf​代表每个前轮的侧偏刚度。 同理后轮的横向力可以写为 F y r = 2 C α r ( − θ V r ) (8) F_{yr} = 2C_{\alpha r}(-\theta_{Vr}) \tag{8} Fyr​=2Cαr​(−θVr​)(8)

其中，比例常数 C α r C_{\alpha r} Cαr​代表每个后轮的侧偏刚度。

车辆平动产生的速度分量 V x V_x Vx​和 V y V_y Vy​，以及绕点 C C C转动产生的线速度 l f ψ ˙ l_f\dot{\psi} lf​ψ˙​和 l r ψ ˙ l_r\dot{\psi} lr​ψ˙​组成。根据上图得 tan ⁡ ( θ V f ) = V y + l f ψ ˙ V x (9) \tan(\theta_{Vf})=\frac{V_y + l_f\dot{\psi}}{V_x} \tag{9} tan(θVf​)=Vx​Vy​+lf​ψ˙​​(9)

tan ⁡ ( θ V r ) = V y − l r ψ ˙ V x (10) \tan(\theta_{Vr})=\frac{V_y - l_r\dot{\psi}}{V_x} \tag{10} tan(θVr​)=Vx​Vy​−lr​ψ˙​​(10) 由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理得 θ V f = y ˙ + l f ψ ˙ V x (11) \theta_{Vf}=\frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} \tag{11} θVf​=Vx​y˙​+lf​ψ˙​​(11)

θ V r = y ˙ − l r ψ ˙ V x (12) \theta_{Vr}=\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x} \tag{12} θVr​=Vx​y˙​−lr​ψ˙​​(12)

将等式(7)、(8)、(9)和(10)代入等式(3)中得 m ( y ¨ + V x ψ ˙ ) = 2 C α f ( δ − y ˙ + l f ψ ˙ V x ) + 2 C α r ( − y ˙ − l r ψ ˙ V x ) (13) m(\ddot{y} + V_x\dot{\psi}) = 2C_{\alpha f}(\delta - \frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} ) +2C_{\alpha r}(-\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x}) \tag{13} m(y¨​+Vx​ψ˙​)=2Cαf​(δ−Vx​y˙​+lf​ψ˙​​)+2Cαr​(−Vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(13) 等式(13)左右两边同时除以 m m m，分别提取 y ¨ \ddot{y} y¨​、 y ˙ \dot{y} y˙​、 ψ ˙ \dot{\psi} ψ˙​和 δ \delta δ项得 y ¨ = − 2 C α f + 2 C α r m V x y ˙ − ( V x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m V x ) ψ ˙ + 2 C α f m δ (14) \ddot{y} = -\frac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x}\dot{y} - ( V_x + \frac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x})\dot{\psi} + \frac{2C_{\alpha f}}{m} \delta \tag{14} y¨​=−mVx​2Cαf​+2Cαr​​y˙​−(Vx​+mVx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)ψ˙​+m2Cαf​​δ(14) 转化为矩阵形式如下 d d t y ˙ = [ 0 − 2 C α f + 2 C α r m V x 0 − ( V x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m V x ) ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + 2 C α f m δ (15) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dot{y} = \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x} & 0 & - ( V_x + \dfrac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \frac{2C_{\alpha f}}{m}\delta \tag{15} dtd​y˙​=[0​−mVx​2Cαf​+2Cαr​​​0​−(Vx​+mVx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)​]⎣⎢⎢⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎥⎥⎤​+m2Cαf​​δ(15) 同理，将等式(7)、(8)、(9)和(10)代入等式(4)中得 I z ψ ¨ = 2 l f C α f ( δ − y ˙ + l f ψ ˙ V x ) − 2 l r C α r ( − y ˙ − l r ψ ˙ V x ) (16) I_z\ddot{\psi} = 2l_fC_{\alpha f}(\delta - \frac{\dot{y} + l_f\dot{\psi}}{V_x} ) - 2l_rC_{\alpha r}(-\frac{\dot{y} - l_r\dot{\psi}}{V_x}) \tag{16} Iz​ψ¨​=2lf​Cαf​(δ−Vx​y˙​+lf​ψ˙​​)−2lr​Cαr​(−Vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(16) 等式(13)左右两边同时除以 I z I_z Iz​，分别提取 y ˙ \dot{y} y˙​、 ψ ¨ \ddot{\psi} ψ¨​、 ψ ˙ \dot{\psi} ψ˙​和 δ \delta δ项得 ψ ¨ = − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z V x y ˙ − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z V x ψ ˙ + 2 l f C α f I z δ (17) \ddot{\psi} = - \frac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x}\dot{y} - \frac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x}\dot{\psi} + \frac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z}\delta\tag{17} ψ¨​=−Iz​Vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​y˙​−Iz​Vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​ψ˙​+Iz​2lf​Cαf​​δ(17) 等效的矩阵形式为 d d t ψ ˙ = [ 0 − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z V x 0 − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z V x ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + 2 l f C α f I z δ (18) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dot{\psi} = \begin{bmatrix} 0 & - \dfrac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x} & 0 & -\dfrac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \frac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z}\delta \tag{18} dtd​ψ˙​=[0​−Iz​Vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0​−Iz​Vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​]⎣⎢⎢⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎥⎥⎤​+Iz​2lf​Cαf​​δ(18) 根据等式(15)和(18)得 d d t [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] = [ 0 1 0 0 0 − 2 C α f + 2 C α r m V x 0 − ( V x + 2 C α f l f − 2 C α r l r m V x ) 0 0 0 1 0 − 2 l f C α f − 2 l r C α r I z V x 0 − 2 l f 2 C α f + 2 l r 2 C α r I z V x ] [ y y ˙ ψ ψ ˙ ] + [ 0 2 C α f m 0 2 l f C α f I z ] δ (19) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left [ \begin{array}{cl} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -\dfrac{2C_{\alpha f } + 2C_{\alpha r}}{mV_x} & 0 & - ( V_x + \dfrac{2C_{\alpha f}l_f- 2C_{\alpha r}l_r}{mV_x})\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & - \dfrac{2l_fC_{\alpha f} - 2l_rC_{\alpha r}}{I_zV_x} & 0 & -\dfrac{2{l_f}^2C_{\alpha f} + 2{l_r}^2C_{\alpha r}}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\ \dot{y}\\ \psi\\ \dot{\psi} \end{bmatrix}\\+ \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{2C_{\alpha f}}{m}\\ 0\\ \dfrac{2l_fC_{\alpha f}}{I_z} \end{bmatrix}\delta \tag{19} dtd​⎣⎢⎢⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​0000​1−mVx​2Cαf​+2Cαr​​0−Iz​Vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0000​0−(Vx​+mVx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)1−Iz​Vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎥⎥⎤​+⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​0m2Cαf​​0Iz​2lf​Cαf​​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​δ(19)