高等数学:第八章 多元函数的微分法及其应用(8)多元函数极值及其求法 |
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§8.8 多元函数极值及其求法 一、多元函数的极值 1、多元函数极值定义 设函数 则称函数在点 如果都适合不等式 则称函数在点 极大值与极小值统称为函数的极值;使函数取得极值的点称为极值点。 注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。 【例1】讨论下述函数在原点 (1)、 (2)、 (3)、 解:由它们的几何图形可知:
2、函数取得极值的必要条件 【定理一】设函数 【证明】不妨设 依极值定义,点 特殊地,在该邻域内取 这表明:一元函数 同理可证 【注一】当 此切平面平行于水平面 例如, 其切平面为 即 此切平面就是( 使 【注二】定理一表明,可(偏)导函数的极值点必为驻点,反过来,函数的驻点却不一定是极值点。例如, 【注三】偏导数 例如,
当然, 当然,定理一的结论也可推广至元函数。 3、函数取得极值的充分条件 【定理二】设函数
则函数在 (1)、 当 (2)、 (3)、 对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法: 【例2】求函数 解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点, 先解方程组 求出全部驻点为 再求二阶偏导数 在点 函数取得极小值 在点 函数不取得极值; 在点 函数不取得极值; 在点 函数取得极大值 二、多元函数的最值 1、有界闭区域上连续函数的最值确定 如果二元函数 若函数在 若函数在 综合上述讨论,有界闭区域 (1)、求出在 (2)、计算出 (3)、求出 (4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值;最小者便是函数在上的最小值。 【例3】求二元函数 上的最值。 解: 得驻点 在边界
在边界 在边界 则 在边界
比较上述讨论, 有
2、开区域 求函数 但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在 【例4】某厂要用铁板做成一个体积为 令 解方程组得唯一驻点 据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域 这表明: 当水箱的长、宽、高分别为 三、条件极值与拉格朗日乘数法 前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为无条件极值。 但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。 例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。 若设长方体的长宽高分别为 这里除了 象这类自变量有附加条件的极值称为条件极值。 有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例;但对一些复杂的问题,条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。 1、函数取得条件极值的必要条件 欲寻求函数 在限制条件 下的取得条件极值的条件。 函数若是在
另外,方程(2)可确定一个隐函数
这样,函数(1)在 据一元函数取得极值的必要条件有
由(2)式有 代入到第(5)式有
由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点 令 这三个式子恰好是函数 的三个偏导数在点 2、拉格朗日乘数法 要求函数 再解方程组 求出点 【注记】拉氏乘数法可推广到一般元函数或限制条件多于一个的情形: 例如:求 下的极值。 作拉氏函数 解方程组 这样求出
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