计算自相关系数acf和偏相关系数pacf

2024-04-15 04:44| 来源: 网络整理| 查看: 265

时间序列分析中，自相关系数ACF和偏相关系数PACF是两个比较重要的统计指标，在使用arma模型做序列分析时，我们可以根据这两个统计值来判断模型类型（ar还是ma）以及选择参数。目前网上关于这两个系数的资料已经相当丰富了，不过大部分内容都着重于介绍它们的含义以及使用方式，而没有对计算方法有详细的说明。所以虽然这两个系数的计算并不复杂，但是我认为还是有必要做一下总结，以便于其他人参考。本文的内容将主要集中于如何计算ACF和PACF，关于这两个系数的详细描述，大家可以参考网上的其它博客。

1. 变量说明

首先对基本变量做一下说明，后续的公式和计算都将以这些变量为准。

我们用变量$X_{t}$表示一个时间序列，$x_{t}$表示序列中的第$t$个点，$t=1,2,3\dots,N$，$N$表示序列$X_{t}$的长度。

序列的均值：$\mu=E(X_{t})$

序列的方差：$\sigma^{2}=D(X_{t})=E((X_{t}-\mu)^{2})$

序列的标准差：$\sigma$

对于长度一样的两条不同序列$X_{t}$和$Y_{t}$，可以使用协方差来刻画它们的相关性。

序列的协方差：$cov(X_{t},Y_{t})=E((X_{t}-\mu_{x})(Y_{t}-\mu_{y}))$

协方差的值$|cov(X_{t},Y_{t})|$越大，说明序列$X_{t}$和$Y_{t}$的相关性越强（大于0时为正相关，小于0时为负相关）。类似地，对于序列$X_{t}$，我们根据序列的滞后次数$k$来计算对应的序列自协方差，

序列的自协方差（有偏）：$\hat{c}_{k}=E((X_{t}-\mu)(X_{t-k}-\mu))=\frac{1}{N}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)$

对于$c_{k}$，我们有两种估计值，有偏估计（上式）和无偏估计，

序列的自协方差（无偏）：$c_{k}=\frac{1}{N-k}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)$

可以注意到$c_{0}(\hat{c}_{0})=\sigma^{2}$，进一步地，我们根据序列的自协方差来定义序列的自相关系数：

序列的自相关系数（有偏）：$\hat{r}_{k}=\frac{\hat{c}_{k}}{\hat{c}_{0}}$

序列的自相关系数（无偏）：$r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}$

后续关于PACF的计算将以无偏估计值（$c_{k}$和$r_{k}$）为代表，大家可自行替换为有偏估计（$\hat{c}_{k}$和$\hat{r}_{k}$）。

2. 序列的自相关系数ACF

由前文易得ACF的计算公式：

自相关系数ACF（无偏）：$acf(k) = r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}=\frac{N}{N-k}\times \frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}$

自相关系数ACF（有偏）：$\hat{acf}(k) = \hat{r}_{k}=\frac{(N-k)c_{k}}{Nc_{0}}=\frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}$

代码（python）如下

import numpy as np # acf method in statsmodels #import statsmodels.tsa.stattools as stattools #def default_acf(ts, k): # return statools.acf(ts, nlags=k, unbiased=False) def acf(ts, k): """ Compute autocorrelation coefficient, biased """ x = np.array(ts) - np.mean(ts) coeff = np.zeros(k+1, np.float64) # to store acf coeff[0] = x.dot(x) # N*c(0) for i in range(1, k+1): coeff[i] = x[:-i].dot(x[i:]) # (N-k)*c(i) return coeff / coeff[0] 3. 序列的偏相关系数PACF

偏相关系数PACF的计算相较于自相关系数ACF要复杂一些。网上大部分资料都只给出了PACF的公式和理论说明，对于PACF的值则没有具体的介绍，所以我们首先需要说明一下PACF指的是什么。这里我们借助AR模型来说明，对于AR(p)模型，一般会有如下假设：

\[x_{i+1} = \phi_{1}x_{i}+\phi_{2}x_{i-1}+...\phi_{p}x_{i-p+1}+\xi_{i+1} \]

其中，$\phi_{j},j=1,2,\dots,P$是线性相关系数，$\xi_{i+1}$是噪声，即我们假设点$x_{i+1}$与前$p$个点$x_{i-p+1},x_{i-p+2},\dots,x_{i}$是线性相关的，而PACF所要表示的就是点$x_{i}$与点$x_{i-p}$的相关性。所以，

序列的偏相关系数PACF：$pacf(p)=\phi_{p}$

我们没有办法单独求解$\phi_{p}$。对于一般的线性回归问题，可以使用最小二乘法（MLS）来求解相关系数，而这里可以使用Yule-Walker等式来求解，详情可以参考YW-Eshel。对于滞后次数$k$，我们依照如下过程来构建Yule-Walker等式：

首先，我们有假设的原等式:

\[x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1})+\xi_{i+1} \]

将等式的两边同乘以$x_{i-k+1}$，可以得到：

\[x_{i-k+1}.x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1}.x_{i-k+1})+x_{i-k+1}.\xi_{i+1} \]

接着，对等式的两边同时求期望，可以得到：

\[\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle)+\langle x_{i-k+1}.\xi_{i+1}\rangle \]

因为噪声项默认是0均值的，所以可以去掉噪声：

\[\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle) \]

等式两边同除以$N-k$（无偏，有偏估计时，除以$N-1$），同时我们又有$c_{l} = c_{-l}$，因此可以得到：

\[c_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}c_{j-k} \]

最后，将等式两边同除以$c_{0}$，可以得到：

\[r_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}r_{j-k} \]

根据最后的等式，我们将所有相关项列出来后，可以得到：

\[\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} r_{0} & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} & r_{0} & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . & r_{0} & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} & r_{0} \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]

这里的$r_{k}$便是之前提到的序列自相关系数ACF，同时，可以注意到$r_{0}=1$，因此有

\[\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]

简化起见，我们令

\[r=\left(\begin{matrix} r_{1}\\ r_{2}\\ .\\ r_{k-1}\\ r_{k} \end{matrix}\right), R= \left(\begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\\ . & . & . & . & . & . \\ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \\ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right), \Phi= \left(\begin{matrix} \phi_{1}\\ \phi_{2}\\ .\\ \phi_{k-1}\\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]

则有等式如下，$R$为toeplitz矩阵，$$R\Phi=r$$ 由于矩阵$R$是对称满秩矩阵，所以存在可逆矩阵$R^{-1}$，使得$\hat{\Phi}=R^{-1}r$，则可以求得滞后次数为$k$的偏相关系数（上标$(k)$表示第$k$个解向量）：$$pacf(k)=\hat{\Phi}_{k}^{(k)}$$ 代码（python）如下

import numpy as np from scipy.linalg import toeplitz # pacf method in statsmodels #import statsmodels.tsa.stattools as stattools #def default_pacf(ts, k): # return statools.pacf(ts, nlags=k, unbiased=True) def yule_walker(ts, order): ''' Solve yule walker equation ''' x = np.array(ts) - np.mean(ts) n = x.shape[0] r = np.zeros(order+1, np.float64) # to store acf r[0] = x.dot(x) / n # r(0) for k in range(1, order+1): r[k] = x[:-k].dot(x[k:]) / (n - k) # r(k) R = toeplitz(r[:-1]) return np.linalg.solve(R, r[1:]) # solve `Rb = r` to get `b` def pacf(ts, k): ''' Compute partial autocorrelation coefficients for given time series，unbiased ''' res = [1.] for i in range(1, k+1): res.append(yule_walker(ts, i)[-1]) return np.array(res) 4. 总结

对如何计算自相关系数ACF和偏相关系数PACF的介绍就到这里了，由于本人并非统计学相关专业，上述内容是基于个人对网上资料和开源代码（python：statsmodels）的理解所总结的，存在错误，烦请指出，本文仅作为各位学习相关算法的参考。

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