线性代数代码实现(七)求解线性方程组(C++) |
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前言: 上次博客,我写了一篇关于定义矩阵除法并且代码的文章。矩阵除法或许用处不大,不过在那一篇文章中,我认为比较好的一点是告诉了大家一种计算方法,即:若矩阵 在本篇文章中,我和大家探讨一下线性代数里面一个重要的知识——线性方程组及其解法。 一、线性代数知识回顾: 我们先探讨一下二元一次方程组的解法: 相信这个解法大家已经很熟悉了,将第一个式子的 -2 倍加到第二个式子上,就可以消掉第二个式子中的 x 了,然后第二个式子就只剩下 y 一个未知数了,就可以轻松解出 y ,然后将 y 代入第一个式子,就可以轻松解出 x ,到此,二元一次方程组求解完成。 从几何意义上看,这两个方程对应着二维平面上的两条直线,并且这两条直线交于一点(1,1),因此有唯一解。 有人可能会想到,不是所有的二元一次方程组都有解,因此我们看一看下面的例子: 大家看到,这个这个将第二个式子中两个未知数都化没了,并且观察这个方程组可知,它有无数解,其实容易看到,第二个式子就是第一个式子的 2 倍,实际上,这两个式子是等价的,第二个式子所描述的信息完全可以用第一个式子描述,也就是说这个方程组中 “有效方程” 的个数为 1 ,而只靠一个式子无法固定两个未知数,因此方程组有无数解。 从几何意义上看,这两个式子就是二维平面中的两个直线,而这两个直线是重合的,也就是说,两个直线相交的点有无数个,即:方程组有无数解。 那么,二元一次方程组有没有可能无解呢?看看下面的例子: 可以看到,消元后,第二个方程变为了一个不可能成立的式子。容易看出,这两个方程是矛盾的,因此是无解的。 从几何意义上看,这两个二维平面上的直线平行且不重合,没有交点,因此无解。 从上面二元一次方程组的回顾中,我们可以将方程组推广到 n 维情形: 同样按照上面的消元方法,不过这次稍微复杂,首先消去第 2 个到第 n 个方程的未知数 设 上述方程组可以表示为: 为了表示方便,我们引入增广矩阵: 当我们对未知数规定书写顺序,那么增广矩阵就和线性方程组就 一 一 对应了,对方程组进行消元就等价于对增广矩阵 从几何意义来看,这 n 个方程组相当于 n 维空间中 n 个 n-1 维的平面。n 个平面交于一点等价于方程组中的 “有效方程” 的个数为 n ,等价于系数矩阵 二、算法描述: 输入系数矩阵 1. 求出增广矩阵 2. 将增广矩阵初等行变换,化为上三角形,在这个过程中,判断增广矩阵的秩是否是 n ,如果不是 n ,则说明方程组无解或有无数解。 3. 自下而上依次计算出 详情请看下面代码: 三、代码实现: 类定义为: class Mat { public: int m = 1, n = 1; //行数和列数 double mat[N][N] = { 0 }; //矩阵开始的元素 Mat() {} Mat(int mm, int nn) { m = mm; n = nn; } void create();//创建矩阵 void Print();//打印矩阵 void augmat(Mat a, Mat b);//求矩阵 a 和向量 b 的增广矩阵 bool solve(Mat a, Mat b); //求线性方程组的解 };其中solve函数求解线性方程组,其定义如下: bool Mat::solve(Mat a, Mat b) //a 为方阵 ,b 为列向量 //求线性方程组的解(ax=b ,求 x),矩阵 a 为方阵并且方程组有唯一解时返回 true { if (a.n != a.m)//只求解是方阵时的情形 { cout |
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