两连续型随机变量得到复合随机变量的分布函数及密度函数 |
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个人比较推荐使用分布函数法,卷积法算是第一种方法的推论,卷积法有一定的局限性,分布函数法可以随机应变;当然不可否认,卷积法有些情况下很方便。看个人选择; 分布函数法X , Y X,Y X,Y为两个连续型随机变量,并且 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) (X,Y)\sim f(x,y) (X,Y)∼f(x,y),f为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度函数; 对于 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y),求Z的分布函数和概率密度; F Z ( z ) = p { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y \displaystyle F_Z(z)=p\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy FZ(z)=p{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy f Z ( z ) = F Z ′ ( z ) \displaystyle f_Z(z)=F_Z^{'}(z) fZ(z)=FZ′(z) 卷积公式法X , Y X,Y X,Y为两个连续型随机变量,并且 ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) (X,Y)\sim f(x,y) (X,Y)∼f(x,y),如果 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y(这里必须是一些简单的运算规则,加减乘除),并且 X , Y X,Y X,Y独立(若不独立,那么需要知道二维概率密度,且等式的左边到中间是成立的,中间到右边是不成立的;因为不独立,那么二维概率密度不一定能写成两个变量概率密度的乘积),那么 Z Z Z的概率密度为: f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x \displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx fZ(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx 例题:
x > 0 x>0 x>0且 y > 0 y>0 y>0的时候, f f f不为0,我们要在这个范围内积分,又因为 Z = X + 2 Y Z=X+2Y Z=X+2Y,那么 z ≥ 2 y , z ≥ x z\geq 2y,z\geq x z≥2y,z≥x,如果对 x x x积分上下限是 ( 0 , z ) (0,z) (0,z),如果对 y y y积分是 ( 0 , z / 2 ) (0,z/2) (0,z/2);
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