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萤火虫（firefly）种类繁多，主要分布在热带地区。大多数萤火虫在短时间内产生有节奏的闪光。这种闪光是由于生物发光的一种化学反应，萤火虫的闪光模式因种类而异。萤火虫算法(FA)是基于萤火虫的闪光行为，它是一种用于全局优化问题的智能随机算法，由Yang Xin-She（2009）[1]提出。萤火虫通过下腹的一种化学反应-生物发光（bioluminescence）发光。这种生物发光是萤火虫求偶仪式的重要组成部分，也是雄性萤火虫和雌性萤火虫交流的主要媒介，发出光也可用来引诱配偶或猎物，同时这种闪光也有助于保护萤火虫的领地，并警告捕食者远离栖息地。在FA中，认为所有的萤火虫都是雌雄同体的，无论性别如何，它们都互相吸引。该算法的建立基于两个关键的概念：发出的光的强度和两个萤火虫之间产生的吸引力的程度。

天然萤火虫在寻找猎物、吸引配偶和保护领地时表现出惊人的闪光行为，萤火虫大多生活在热带环境中。一般来说，它们产生冷光，如绿色、黄色或淡红色。萤火虫的吸引力取决于它的光照强度，对于任何一对萤火虫来说，较亮的萤火虫会吸引另一只萤火虫。所以，亮度较低的个体移向较亮的个体，同时光的亮度随着距离的增加而降低。萤火虫的闪光模式可能因物种而异，在一些萤火虫物种中，雌性会利用这种现象猎食其他物种；有些萤火虫在一大群萤火虫中表现出同步闪光的行为来吸引猎物，雌萤火虫从静止的位置观察雄萤火虫发出的闪光，在发现一个感兴趣趣的闪光后，雌性萤火虫会做出反应，发出闪光，求偶仪式就这样开始了。一些雌性萤火虫会产生其他种类萤火虫的闪光模式，来诱捕雄性萤火虫并吃掉它们。

萤火虫算法模拟了萤火虫的自然现象。真实的萤火虫自然地呈现出一种离散的闪烁模式，而萤火虫算法假设它们总是在发光。为了模拟萤火虫的这种闪烁行为，Yang Xin-She提出了了三条规则（Yang，2009）[1]：

光强(I)与光源距离（r）服从平方反比定律，因此由于空气的吸收，光的强度(I)随着与光源距离的增加而减小，这种现象将萤火虫的可见性限定在了非常有限的半径内：

I ∝ 1 r 2 (1) I \propto \frac{1}{{{r^2}}}\tag 1 I∝r21​(1)

萤火虫算法的主要实现步骤如下： I r = I 0 e − γ r 2 (2) {I_r} = {I_0}{e^{ - \gamma {r^2}}}\tag 2 Ir​=I0​e−γr2(2)

其中I0为距离r=0时的光强（最亮），即自身亮度，与目标函数值有关，目标值越优，亮度越亮；γ为吸收系数，因为荧光会随着距离的增加和传播媒介的吸收逐渐减弱，所以设置光强吸收系数以体现此特性，可设置为常数；r表示两个萤火虫之间的距离。有时也使用单调递减函数，如下式所示。 I r = I 0 1 + γ r 2 (3) {I_r} = \frac{{{I_0}}}{{1 + \gamma {r^2}}}\tag 3 Ir​=1+γr2I0​​(3) 第二步为种群初始化： x t + 1 = x t + β 0 e − γ r 2 + α ε (4) {x_{t + 1}} = {x_t} + {\beta _0}{e^{ - \gamma {r^2}}} + \alpha \varepsilon \tag 4 xt+1​=xt​+β0​e−γr2+αε(4)

其中t表示代数，xt表示个体的当前位置，β0exp(-γr2)是吸引度，αε是随机项。下一步将会计算萤火虫之间的吸引度： β = β 0 e ( − γ × r 2 ) (5) \beta = {\beta _0}{e^{\left( { - \gamma \times {r^2}} \right)}} \tag 5 β=β0​e(−γ×r2)(5)

其中β0表示r=0时的最大吸引度。

下一步，低亮度萤火虫向较亮萤火虫运动：

x i t + 1 = x i t + β 0 e − γ r i j 2 ( x j t − x i t ) + α ε i t (6) x_i^{t + 1} = x_i^t + {\beta _0}{e^{ - \gamma r_{ij}^2}}\left( {x_j^t - x_i^t} \right) + \alpha \varepsilon _i^t\tag 6 xit+1​=xit​+β0​e−γrij2​(xjt​−xit​)+αεit​(6)

最后一个阶段，更新光照强度，并对所有萤火虫进行排序，以确定当前的最佳解决方案。萤火虫算法的主要步骤如下所示。

萤火虫算法与粒子群算法(PSO)和细菌觅食算法(BFA)有相似之处。在位置更新方程中，FA和PSO都有两个主要分量：一个是确定性的，另一个是随机性的。在FA中，吸引力由两个组成部分决定：目标函数和距离，而在BFA中，细菌之间的吸引力也有两个组成部分：适应度和距离。萤火虫算法实现时，整个种群(如n)需要两个内循环，特定迭代需要一个外循环(如I)，因此最坏情况下FA的计算复杂度为O(n2I)。

萤火虫算法只有10年(2009-2019)的历史，但由于其简单和易于实现，受到优化领域的研究人员和科学家越来越多的欢迎。Francisco，Costa和Rocha(2014)[2]对萤火虫算法进行了一些实验，使用了数学函数范数。范数是一个严格分配非负长度的函数。(Francisco et al.，2014)[2]提出了两种计算吸引力函数的新方法。首先，利用p-范数计算两个萤火虫之间的距离。第二种方法提出了两个新的吸引力函数β1和β2，如下所示。 β i j 1 = { β 0 e ( − γ × r i j 2 )  if  r i j ≤ d 0.5  if  r i j > d (7) \beta_{i j}^{1}=\left\{\begin{array}{ll}{\beta_{0} e^{\left(-\gamma \times r_{i j}^{2}\right)}} & {\text { if } r_{i j} \leq d} \\ {0.5} & {\text { if } r_{i j}>d}\end{array}\right.\tag 7 βij1​={β0​e(−γ×rij2​)0.5​ if rij​≤d if rij​>d​(7) β i j 2 = { β 0 e ( f ( x i ) − f ( x j ) r i j )  if  f ( x i ) > f ( x j ) 0  otherwise  (8) \beta_{i j}^{2}=\left\{\begin{array}{cc}\beta_{0} e^{\left(\frac{f\left(x_{i}\right)-f\left(x_{j}\right)}{r_{i j}}\right)} & {\text { if } f\left(x_{i}\right)>f\left(x_{j}\right)} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.\tag 8 βij2​=⎩⎨⎧​β0​e(rij​f(xi​)−f(xj​)​)0​ if f(xi​)>f(xj​) otherwise ​(8) Wang et al.(2017)[3]提出了FA自适应参数，根据迭代次数修改其值：

α ( t + 1 ) = ( 1 − t G max ⁡ ) × α ( t ) (9) \alpha (t + 1) = \left( {1 - \frac{t}{{{G_{\max }}}}} \right) \times \alpha (t)\tag 9 α(t+1)=(1−Gmax​t​)×α(t)(9) α ( t + 1 ) = ( 1 − F e v a l M a x − F e v a l ) × α ( t ) (10) \alpha (t + 1) = \left( {1 - \frac{{Feval}}{{Max - Feval}}} \right) \times \alpha (t)\tag {10} α(t+1)=(1−Max−FevalFeval​)×α(t)(10)

其中t表示当前迭代次数，α的初始值为0.5。第一个等式停止于Gmax，第二个等式停止于最大评估次数。Wang等也建议按照下式改变吸引度系数β： β 0 ( t + 1 ) = { rand ⁡ 1 ,  if  rand ⁡ 2 < 0.5 β 0 ( t )  else  (11) \beta_{0}(t+1)=\left\{\begin{array}{ll}{\operatorname{rand}_{1},} & {\text { if } \operatorname{rand}_{2}{{d_{swap}}}}{{N - 1}} \times 10\tag {12} rij​=N−1dswap​​×10(12) 其中dswap表示在[0,N]之间的交换距离（swap distance），N代表城市数量。这意味着城市间距离的增加会导致吸引力βij的逐渐下降。在这个新版本中加入了最近邻策略，该策略随机从一个城市开始，一直选择邻近的城市，直到循环完成。此外，重置方法用于跳过局部最优。 Wang等人(2017)[5]利用FA中的交叉策略开发了一个多目标的FA版本。所提出的算法按照如下生成新的解： x i d ∗ ( t + 1 ) = { x i d ( t + 1 )  if  rand ⁡ d ( 0 , 1 ) ≤ C R ∨ d = d rand  x i d ( t )  otherwise  (13) x_{i d}^{*}(t+1)=\left\{\begin{array}{ll}{x_{i d}(t+1)} & {\text { if } \operatorname{rand}_{d}(0,1) \leq C R \vee d=d_{\text {rand }}} \\ {x_{i d}(t)} & {\text { otherwise }}\end{array}\right.\tag {13} xid∗​(t+1)={xid​(t+1)xid​(t)​ if randd​(0,1)≤CR∨d=drand ​ otherwise ​(13)

其中t是当前迭代次数，CR表示交叉率，randd(0,1)是[0,1]之间的任意数，对于D维问题，drand是[0,D]之间的任意数，参数α通过式（9）和式（10）进行更新。