目录

新冠肺炎的分析与预测

摘要

一、问题的重述

1 问题的背景

2 问题的提出

3 目的及意义

二、符号说明

三、模型假设

四、建模准备与问题分析

4.1 SEIR模型

4.2 SIR模型

4.3 免疫算法

五、问题解决与模型求解

5.1 问题1

5.2 问题1模型求解

5.4 问题2模型求解

5.5 问题3解决

5.6 问题3模型求解

5.7 问题4解决

5.8 问题4模型求解

六、模型的评价与推广

6.1 模型优点

6.2模型缺点

6.3模型改进和推广

七、参考文献

参考文献

问题描述

截止 2021 年 4 月 27 日， 全球新增确诊病例连续 9 周增加，新增死亡病例连续 6 周增加。 世卫组织总干事谭德塞指出，虽然一些地区的新增确诊病例和死亡人数出现小幅下降，但许多国家疫情仍在密集传播，印度等国的情况尤其令人揪心。 中国政府已决定在全国进行全人群的新冠病毒疫苗接种，以建立最大规模的国民群体新冠免疫屏障。 请你们根据现有的知识和搜集相关数据，利用数学建模的方法，解决如下问题： 1. 建立传染病毒群体免疫屏障的数学模型，说明疫苗接种率的控制对构筑免疫屏障的作用。在此基础上考虑疫苗的有效性问题和病毒的变异问题对免疫屏障的可能影响。讨论免疫屏障和物理隔离对于整个社会的代价及收益的异同。 2. 以中国为例，考虑采取怎样的步骤、需要多大成本、多长时间可完成群体免疫屏障的建立。 3. 试分析导致印度新冠疫情急剧恶化的原因，给出印度疫情对周边国家疫情影响的预测分析和防控建议。 4. 根据你所建立的免疫屏障模型，提出能够有效遏制印度疫情蔓延的方案，并预测实施方案后印度疫情的走向

新冠肺炎（COVID-19）疫情自爆发以来，全球疫情形势不断的在发生变化，各国的疫情发展趋势不尽相同，同时也有面临着多方面的挑战和难题，我们需要对现状进行调研和分析，并结合相关模型对疫情进行分析和预测，最终给出合理化建议和措施。

针对问题1，我们采用SEIR模型和SIR模型。通过Python和MATLAB对模型进行预测和分析，结合新冠肺炎具有潜伏期的特点，我们优选SEIR模型进行调试和改动参数，采用层次分析法和梯度比较法对我们的模型参数进行合适的调优和赋值，最终通过不断的比较赋值，训练最佳模型参数。同时也利用了SIR模型进行分析和预测，给出具体的模型方法和步骤，对模型进行完善，得到模型的可靠性，并满足我们的需要。二者都得出疫苗接种率的控制对构建免疫屏障有着至关重要的作用，它能够有效地加快构建免疫屏障的速度和完善防控效果。通过对参数的不断验证，分析出疫苗的有效性和病毒的变异性对免疫屏障具有直接的影响因素，利用多重的指标交叉检验，最终分析和辩证看待免疫屏障和物理隔离对整个社会的代价及收益具有相同的促进作用，其本质不同的是物理隔离带来的效果不具有经济促进作用和市场回收价值。

针对问题2，我们采用SIR模型和免疫算法。基于问题1的SIR求解步骤及分析过程，我们得出阈值 1/σ 越大，才可以满足病毒不传播的条件和免疫屏障的构建需求，并通过免疫算法预测出中国需要接种80%才能达到群体免疫屏障，即要接种10亿多人。 调研发现中国现在每天疫苗接种能力是全球最高的，可以达到1000万人，如果接种10亿人，那就是100天，也就是接近3个多月时间。

针对问题3，我们采用传染动力模型。建立传染动力模型SEI,在通过差分递推计算出日感染率,通过日感染率来大致判断印度周边国家疫情的变化情况。首先通过调研收集印度新冠肺炎急剧恶化的原因，其次我们通过SEI模型的调参和指标转换，模拟确定每一个参数及指标給预测带来的实际影响效果，最终将这些参数转换为实际的原因，由此发现，感染率和接种率具有互相制约的关系，二者关系过于的密切，此外通过实际的调研发现，需要对印度的疫情做出有效的措施和制约，就必须要有强大的执行力，要隔离感染源和传播源，由此来减小感染率，最后通过增加接种率来保证免疫屏障有效的建立起来。

针对问题4，我们采用SEIR模型。基于问题1的免疫屏障数学建模，我们使用SEIR和SIR模型进行对比调优求解。通过预测和分析，得出应该从源头上把控印度疫情的传播和“升级”，切断辐射性的传播路径来降低感染率指标参数，通过加大对疫苗的接种率来增加康复率指标参数，由此制定相关的有效方案，最后通过这些方案来调整免疫屏障模型的参数，最后对其效果进行评估和解释。

关键词：SEIR SIR模型 免疫屏障 免疫算法 疫苗接种 传染动力模型

新冠肺炎（COVID-19）疫情在全球传播以来，传播速度快、传染性强、重症患者死亡率高的特点让全球多国在应对疫情传播时处于被动状态。据世卫组织统计数据显示，截至2021年6月18日傍晚，全球累计新冠肺炎确诊病例176945596例，死亡病例3836828例；中国累计新冠肺炎确诊病例117401，死亡病例5384。新冠肺炎（COVID-19）疫情已在全球多个国家和地区蔓延，且不同国家和地区新冠肺炎的传播扩散过程和传染预测模式不尽相同。截至2021年6月17日，31个省（区、市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗9.66亿剂次。世卫组织总干事谭德塞指出，虽然一些地区的新增确诊病例和死亡人数出现小幅下降，但许多国家疫情仍在密集传播，印度等国的情况尤其令人揪心。中国政府已决定在全国进行全人群的新冠病毒疫苗接种，以建立最大规模的国民群体新冠免疫屏障。

通过建立传染病毒群体免疫屏障的SEIR模型，说明疫苗接种率的控制对构筑免疫屏障的作用。我们在此基础上考虑疫苗的有效性问题和病毒的变异问题对免疫屏障的可能影响。讨论免疫屏障和物理隔离对于整个社会的代价及收益的异同。以中国为例，考虑采取怎样的步骤、需要多大成本、多长时间可完成群体免疫屏障的建立。试分析导致印度新冠疫情急剧恶化的原因，给出印度疫情对周边国家疫情影响的预测分析和防控建议。根据你所建立的免疫屏障模型，提出能够有效遏制印度疫情蔓延的方案，并预测实施方案后印度疫情的趋势走向。

接种率越高，免疫屏障越牢固，接种率与免疫屏障成正相关。国家要建立免疫屏障需要大量人群都接种新冠疫苗，而我国现在接种人群仅只有16447.1万剂次，远远小于建立免疫屏障所需人数。因此我国现在正在大面积普及新冠疫苗，正在对不同地区，不同人群分批次进行疫苗注射，稳步提高疫苗在人群中的覆盖率，争取让国内70%的人群在今年年底前成功注射疫苗。[1]如果疾病一直不治疗，一直蔓延下去，病毒变异就会很快，那么疾病的严重程度和传染性都会增加。而接种疫苗是一个重要的举措，接种疫苗后我们有了免疫力，就不会成为传染源，病毒就传播不下去了。这样有利于阻止病毒变异速度加快。当大量人群注射疫苗后，才能使得群体免疫建立起来，才能降低传播速度，保护没有免疫的人群。如果把接种疫苗一直往后面拖，不进行疫苗注射，那么国内的免疫屏障就永远建立不起来。那么我们出行就必须佩戴口罩，想摘掉口罩的愿望可能就不会实现。

符号说明见具体问题参数方程解释

建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，要根据传染病的发病机理和传播规律，结合疫情数据进行拟合分析，可以认识传染病的发展趋势，预测疫情持续时间和规模，分析和模拟各种防控措施对疫情发展的影响程度，为传染病防控工作提供决策指导，具有重要的理论意义和现实意义。

SIR模型是最简单的传染病传播模型，把人群分为易感者（S类）和患病者（I 类）两类，通过 SI 模型可以预测传染病高潮的到来；提高卫生水平、强化防控手段，降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。在 SIR 模型基础上发展的 SIS 模型考虑患病者可以治愈而变成易感者，SIS 模型表面传染期接触数 σ是传染病传播和防控的关键指标，决定了疫情终将清零或演变为地方病长期存在。在 SI 模型基础上考虑病愈免疫的康复者（R 类）就得到 SIR 模型，通过 SIR 模型也揭示传染期接触数σ 是传染病传播的阈值，满足p1:s0>1/σ→ⅈ(t) 才会发生传染病蔓延，由此可以分析各种防控措施，如：提高卫生水平来降低日接触率 λ、提高医疗水平来提高日治愈率μ，通过预防接种达到群体免疫来降低s0 ​等。[2]

传染病大多具有潜伏期（incubation period），也叫隐蔽期，是指从被病原体侵入肌体到最早临床症状出现的一段时间。在潜伏期的后期一般具有传染性。不同的传染病的潜伏期长短不同，从短至数小时到长达数年，但同一种传染病有固定的（平均）潜伏期。例如，流感的潜伏期为 1～3天，冠状病毒感染的潜伏期为4~7天，新型冠状病毒肺炎传染病（COVID-19）的潜伏期为1-14天（来自：新型冠状病毒肺炎诊疗方案试行第八版，潜伏时间 1～14天，多为3～7天，在潜伏期具有传染性），肺结核的潜伏期从数周到数十年。[3]

SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。

SEIR 模型的仓室结构示意图如下：

                                               图表 1 SEIR模型仓库示意图

考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；

人群分为易感者（S 类）、暴露者（E 类）、患病者（I 类）和康复者（R 类）四类；

易感者（S 类）与患病者（I 类）有效接触即变为暴露者（E 类），暴露者（E 类）经过平均潜伏期后成为患病者（I 类）；患病者（I 类）可被治愈，治愈后变为康复者（R 类）；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；

将第 t 天时 S 类、E 类、I 类、R 类人群的占比记为 s ( t )、e(t)、 i(t)、 r(t)，数量分别为 S(t)、 E(t)、 I(t)、R(t)；初始日期 t=0 时，各类人群占比的初值为s0​、e0​、 i0​、r0​；

日接触数 λ，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数；

日发病率δ，每天发病成为患病者的暴露者占暴露者总数的比例；

日治愈率μ，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为1/μ；

传染期接触数 σ = λ / μ，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。

SEIR模型在一个简单的Susceptible(易感者)、Exposed(潜伏者)、Infected(感染者)、 Removed(康复者)模型(SEIR)中，Susceptible(易感者)是指没有感染过此传染病，迄今健康的人群，也就是大部分人群，Exposed(潜伏者)是正在此传染病潜伏期的人群，Infected(感染者)是已经确诊的人群，Removed(康复者)是移除的人群(包括康复的人和死亡的人)。[4]

图表 2 SEIR模型

Β:一个易感者和一个感染者接触，他被传染的概率。

R:感染者接触易感者的人数。

A:潜伏者转化为感染者的概率，可以估计为已知的平均潜伏期Y的倒数，即a=1/Y

γ：感染者康复的概率，可以由平均的康复期D的倒数决定，即γ=1/D

一个病毒在一个群体的传播便可以由以下的非线性常微分方程来描述：

S+E+I+R=N四类人群之和是人口的总数N，以上的方程分别表示了S、E、I、R随时间的变化率。

SIR模型是一种传播模型，是信息传播的形象描述，典型的传染病模型，其中”S ”表示易染状态，“I”表示感染状态，“R”表示移除状态，这个模型本身是在研究这三者的关系。在病毒最开始的时候，所有人都是处于易感状态，每个人都有中毒的可能性，接触到病毒的人群就会变成感染者，当感染者接受治疗恢复后就变成了移除者，[4]下图即为在一定限制条件下的“SIR”模型图。[3]

图表 3 限制条件

图表 4 SIR 传播

所谓的疫苗是指根据进化环境或待求问题的先验知识，所得到的对最佳个体基因的估计；而根据疫苗修正个体基因的过程称为接种疫苗，其目的是消除抗原在新个体产生时所带来的负面影响。在实际的操作过程中，首先，对所求解的问题进行具体分析，从中提取出最基本的特征信息；其次对特征信息进行处理，以将其转化为局部环境下求解问题的一种方案；最后，将此方案适当的形式转化成免疫算子并用来产生新的个体，这里需要说明的是：一方面，待求问题的特征信息往往不止一个，也就是说针对不同特征信息所能提取的疫苗也可能不止一种，那么在接种过程中可以随机一种疫苗进行接种，也可以将多个或所有的疫苗按照一定的次序予以接种；另一方面，疫苗实质上是最优个体的某个分量上的估计，而这种估计是否正确有待于其后的选择操作来判断，也就是说疫苗只会影响算法的搜索效率，而不至于涉及到算法的收敛性。[5]

图表 5 免疫算法示意图

免疫算子包括疫苗接种和免疫选择两个部分。前者提高了亲和度，后者防止种群退化，根据先验知识抽取疫苗。

       如果需要说明疫苗接种率的控制对构筑免疫屏障的作用，我们需要构建SEIR模型，在此基础上考虑疫苗的有效性问题和病毒的变异问题对免疫屏障的可能影响，讨论免疫屏障和物理隔离对于整个社会的代价及收益的异同。SEIR模型也被广泛地应用于流行病疫情的模拟和预测，且模拟效果较为突出。同时本研究所使用的SEIR模型加入了不同管控措施，即不同管控开始的时间和不同管控的强度，能更有效地模拟新冠肺炎疫情的发展。加入疫苗接种率，通过构建模型，最终调节和选择最佳参数来呈现模型的优度。[6]

       该问题基于Matlab和Python构建了SEIR模型，通过Python网络爬虫的手段获取国家卫健委官方发布的数据，并获取模型关键参数，模拟本次重庆市的发展趋势，获得预测数据，并与实际新冠肺炎疫情数据相比较，实测值与模拟值的相关性较好。

基于SEIR模型：

通过Python建模分析，假设有N个人，两两之间有接触的关系为p：

图表 6 SEIR模型

事件开始：选中一个人变为潜伏者E

时间推移：

健康者 S：若与x个感染者I接触，则有的概率变为潜伏者E

潜伏者E：有β的概率病发变为感染者I，有μ的概率变为终态R

感染者I： 有μ的概率变为终态R

参数设置：

N =1000 , p=0.006 w = 0.2 , β = 0.5 , μ = 0.2

图表 7 SEIR传播系数

图表 8 SEIR（Python）模型

通过SEIR模型的构建分析可得，疫苗接种率的控制对构筑免疫屏障有保障和促进作用，同时会降低感染传播率。

通过MATLAB建模分析，假设模型数据为N=1000000，通过SEIR模型构建科学计算

参数表 1

参数名称

参数值

感染者接触易感者的人数

r = 20

传染概率

B = 0.03

潜伏者转化为感染者概率

a = 0.1

潜伏者接触易感者的人数

r2 = 20

潜伏者传染正常人的概率

B2 = 0.03

康复概率

y = 0.1

给定原始参数进行模拟，本参数都是通过样本数据模拟好之后呈现的最佳参数，我们通过参数调节来探求对其他指标的影响程度。

图表 9 SEIR（MATLAB）模型

如图表9 SEIR（MATLAB）模型可知，通过接种率带来的康复率有一定的时间周期，而且是康复者的数量的稳步上升，传染者的达到一个峰值之后就会下降（20天左右），这也说明了建立免疫屏障，接种率具有首当其冲的功劳。

参数表 2

参数名称

参数值

感染者接触易感者的人数

r = 20

传染概率

B = 0.1

潜伏者转化为感染者概率

a = 0.1

潜伏者接触易感者的人数

r2 = 20

潜伏者传染正常人的概率

B2 = 0.03

康复概率

y = 0.1

图表 10 SEIR（MATLAB）调参模型

如图表10 SEIR（MATLAB）调参模型可知，将传染概率提高，对比原始参数所生成的表，感染人数增加了，其次感染概率的增加也会影响到其他的指标。

参数表3

参数名称

参数值

感染者接触易感者的人数

r = 20

传染概率

B = 0.03

潜伏者转化为感染者概率

a = 0.1

潜伏者接触易感者的人数

r2 = 20

潜伏者传染正常人的概率

B2 = 0.06

康复概率

y = 0.1

图表 11 SEIR（MATLAB）调参模型

病毒的变异,会影响潜伏者的人数的增加

参数表 4

参数名称

参数值

感染者接触易感者的人数

r = 20

传染概率

B = 0.03

潜伏者转化为感染者概率

a = 0.1

潜伏者接触易感者的人数

r2 = 20

潜伏者传染正常人的概率

B2 = 0.03

康复概率

y = 0.03

图表 12 SEIR（MATLAB）调参模型

建立物理隔离（防疫措施：强隔离、不聚集、做好安全防护工作）

图表 13 SEIR（MATLAB）调参模型

在疫情爆发的第10天开始,执行戒严，不到处溜达，严格控制接触人数。我们可以看到，疾病高发期的时间向后延长和疾病高峰人数大幅下降，这样子为我们抗击肺炎病毒争取了更多的应对时间，并且感染者,潜伏者人数的减少大幅度降低了社会资源的消

基于SIR模型

S(t)+I(t)+R(t)=N

2.假设单位时间内一个病人能传染的人数与易感者总数S(t)成正比（合理），设定比例系数为α，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为：α∙St∙I(t)

3.假设单位时间内治愈的人数与病人数量成正比（合理），比例系数为β，所以单位时间内治愈的人数为：β∙I(t)

3.1易感人数的变化率(下降率)：

-α∙S(t)∙I(t)               (易感人数变化率就是那些被感染的人(负值))

3.2感染人数的变化率(增长率)为：

α∙S(t)∙I(t)-βI(t)                                   (单位时间 感染的总数人减去治愈的人数)

3.3已治愈人数的增长率为：

β∙I(t)                                                （单位时间 治愈的人）

用导数来刻画变化率：

则微分方程可以表示如下：

&dS(t)dt=-α∙S(t)∙I(t)&dI(t)dt=α∙S(t)∙I(t)-βI(t)&dR(t)dt=βI(t)

第二步：加入疫苗屏障：

建立疫苗屏障模型：

模型分为两步

“SIR模型会产生一个临界点，就是所谓的基本再生数R0值，也就是感染率与痊愈率之比。某种传染病，如果 R0 大于1，那么这种传染病就可以传遍整个人群，而 R0 小于 1 的传染病则趋于消失。在这个模型中，并不一定会传播到整个人群。能不能做到这一点取决于 R0 的值。因此，像疾病控制中心、政府机构必须依据对 R0 的估计来指导政策制定。”

参数调优：

对R0的调整，也就是说，在无疫苗干预的情况下，如果R0大于1，最终所有人将被感染，我们的量化目标就是通过接种疫苗使R0变化，起到对疫情的控制效果。

大家可以看下，在不使用疫苗的情况下（设定参数α和β，使得R0为5，与实际情况接近），最终所有人被感染：

图表 14 SIR 模型

建立疫苗接种阈值模型：

设疫苗接种率为Vac，为使R0小于1则有：

注射疫苗后，更改代码实现方式：

大致效果：

图表 15 SIR（调参）模型

第三步、量化疫苗的接种率对免疫屏障的作用

可以通过图的变化，感染比例等指标描述

参考方向：

疫苗指标Vac

经典SIR模型中的阈值 1/σ与 相轨线I-S的分析

由上述微分方程可知如下公式：

此处为常数，

这个阈值 1/σ与上面的R0是什么关系未知，阈值的定义与R0类似，但是两者的结论并不相同。本模型所提供的代码参数结果的阈值为40000，而s0（初始的易感染人数）为1000000，实验结果是符合理论的。

       通过SEIR和SIR模型效果可得，要有效的降低病毒传播和疫情扩张的风险，就要建立免疫屏障 ，而建立免疫屏障需要一定的社会代价，也就需要大量的资金融入和价值资本的投入；物理隔离的社会代价也会导致不少的企业缺乏劳动力和市场扩需，不能平衡支出和收益，会降低市场的生产资本和劳动力。但两者带来的收益，能够为疫情经济复苏注入新的血液。

5.3 问题2解决

以中国为例，考虑采取怎样的步骤、需要多大成本、多长时间可完成群体免疫屏障的建立，也比较的清晰了。

根据第一问附加的的SIR模型的求解，我们的目标是提高阈值1/σ，只有阈值越大，才更可以满足病毒不传播的条件：

p_1:s_0>1⁄σ→ⅈ(t) 先升后降至0          传染病蔓延 p_2:s_0