1、美国重新修订中小学数学课程标准全美数学教师理事会 （nctm ） 已于 1998 年 10 月公布了新的中小学数学课程标准讨论稿，向美国国内各界人士征求意见。这份文件以 学校数学的原则和标准为题， 总结了自 1989年 nctm 公布美国学校数学课程与评价标准以来，美国各地数学教学的实际经验和各种反馈意见，对原标准重新进行修订，提出了面向21 世纪新的课程与评价标准。新的标准没有改变1989 年制订标准的基本方向，而是在如何使教师更好地理解和有效地贯彻标准上做了改进。从新标准的讨论稿来看， 主要变化有以下几个方面。1新标准把以前关于课程、数学、评价标准的三个文件（分别于1989 年、1991年

2、和 1995年公布）综合为一个文件， 使教师更容易掌握应当教学哪些内容、怎样教，以及如何评价。2新标准是以建立高质量数学教学的六条原则为开端的。它们成为制定课程标准的基础。这六条是公平的原则、数学课程的原则、教的原则、学的原则、评价的原则和技术的原则。3新标准把年级分段由三段改为四段（k2，35，68 和 912），使教师能够更加具体明确地掌握各个阶段数学教学的内容、方法和要求。4新标准开发、阐述了学校数学教学十项标准的总观点，并将其贯穿在各个年级的标准中，通过具体的示例详细解释。这些标准的前五项叫做内容标准，包括：（ 1）数与运算；（ 2）模式、函数与代数；（ 3）几何与空间观念；（ 4）测

3、量；（5）数据分析、统计和概率。后五项叫做过程标准，包括：（1）问题解决；（ 2）推理和证明；（ 3）交流；（ 4）联系；（ 5）表达。5新标准还有一个特别的变化，就是应用了新技术的力量，提供了计算机网络版。这样，由于网络版可以是动态的，使教师能够及时地、很容易地从因特网上得到最新的标准和有关的信息咨询。这份新标准的讨论稿经过广泛征求、收集意见后，将在1999 年夏季由全美数学教师理事会的专门写作小组做进一步整理和修改。新的学校数学的原则和标准将于 2000 年春季正式公布。标准 1：数和运算数学教学纲要应促进对数和运算的感觉（以下简称 数感 ） 的发展，为此全体学生应理解数，数的表示法，数之

4、间的关；理解运算的意义及各种运算之间如何联系；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - -熟练地运用计算工具和策略并恰当地进行估计。说明：幼儿园前12 年级在学校数学课程中，数、运算及计算有悠久而显要的历史。此外，数学的这个领域或许要比任何其他部分，在超出学校的范围里更广泛地受到承认和尊重。这个标准的中心就是发展 数感 这样的目标，即理解数的意义，它们之间如何联系，它们的相对大小关系，如何用多种方法思考和表示它们，以及数的运算产生的结果。在教师的经验的引导下，让学生适时地发展 对于数及它们间

5、关系的良好直觉 （howden1989 ） 。具有良好 数感 的学生会自然地分解数， 发展和运用最基本的内容，运用运算间的关系及十进制数的知识去解决问题，估计问题的合理结果，并且具有能形成对于数、问题及结果的直觉的素质（sowder1992） 。具备蕴藏于 数感 中的技能的学生，是数学的自信的使用者。关于数的基本知识，是发展 数感 和教会学生解决问题的基础。学生必须能容易地回顾这些基本知识。 这些基本知识包括一位数加法的结构及减法、乘法和除法的原形。对于基本知识的理解和有关的技能，可以通过探索如7 8 与 7 71 是同样的 这类问题的思考策略来发展。 它们也可以通过多样的、系统的校内外实践活

6、动来发展。大多数学生在年级应能迅速地回忆起加法和减法的基本知识，在年级后期容易和熟练地回忆起乘法和除法的基本知识。同样， 熟练的计算掌握和运用有效和精确的计算方法是发展数感 和在大多数的数学领域取得成功的基础。某些情形中，学生会用聪明的策略，例如把625看作 6个 2 加 6 个一半（ 05） 。在其他情形，学生用聪明的策略结合写在纸上的算草迅速得出精确的结果。 在另一些情形， 学生可以用纸和笔演练教学中的计算法则及其变形法则，特别是在数目很大或很复杂时。重要的是，学生必须具有可以有效使用和产生正确结果的方法。能应用、处理问题中的信息材料和反映、比较解题策略， 会帮助学生发展对于数、运算及它们

7、的性质的理解，增加关于基本规律的知识，使运算更流畅。全体学生应学会在计算时进行估计的策略，养成对数值 ( 包括计算结果的合理性)做判断的习惯。估计的能力和习惯，依赖于对于数的理解它们的大小，在数系中的地位，等价形式以及用这些数进行运算的结果（例如， 当一个整数乘以一个小于1 的数时会产生什么样的结果？） 。估计可以用来直接回答一个如我们该要多少比萨饼？ 这样的问题，或用来评价用纸、笔、计算器所得出的结果的合理性。在高中，学生应理解误差估测及其在计算中的作用，并应发展区分估计值和近似值的能力。计算器是可行且可靠的计算工具。全体学生应在适当的时候把计算器作为计算工具。计算器应可以运用于数学课堂中的

8、计算，特别当解决问题中需要很多或很复杂的计算时。然而，当教学重点在于发展学生自身或由此转化的计算技能时，计算器的使用应服从于教学重点。今天，计算器已是课堂之外广泛使用的工具。课内环境应反映这一现状。理解数，数的表示法，数之间的关系及数系学生的有关数的概念和性质的知识应在他们的学校生活中不断发展。在 2 年级前， 学生精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - -通过多种途径学习记数、表示数和比较大小，可以借助于他们能够操作的实物，如记数器和10 以内的模块。 2 年级前，学生将会接触并应探索较

9、大的数。实际上， 他们对于大的数特别是在他们的生活中遇到的这样的数常常很感兴趣。例如，小龄的学生可以通过计算用学校的便士机换的硬币数目或收集的苏打水罐拉环的数目来认识数。低年级学生会探索和使用部分与整体的关系。24 被看作两个10 和 4 个 1，也是两个12。用多种方法来认识数，会为学习10 进制记数法提供基础。在 2 年级，学生形成这样的转化，如10 是 10 个 1 的集合，也是一个10。这样的认识是通往 10 进制记数法的第一步（cobb&wheatly1998） 。在低年级， 学生也会通过现实问题和语言遇到并学习普通分数（如1/2 ，3/4 ） 。例如，大多数学生已能在他们的

10、校外生活词汇中使用 一半 。35 年级的学生继续发展和扩充关于整数的概念并思考运用解题技巧。3408 是 3 个1000、4 个 100 和 8 个 1 之和的知识，是学生理解3408 如何与 4408、 3308 及 3500 相联系的基础。这样的理解是发展数感的一部分，也有益于产生和运用计算技巧。在 35 年级，学生将学习和表示分数和小数，要强调它们如何与整数相联系等。理解分数或小数是单位量的部分量，是这些年级的关键概念。在这个阶段， 教学中对有理数概念的强调应重于它们运算的策略。对于35 年级的学生来说，有用的经验包括形成对分数和小数的实际背景的认识，用如 1/2 这样的已熟悉的最基本的

11、数来比较分数，在数轴上表示分数和小数，及分数和小数间相等的表示等。运用这些理解，学生将能估计分数的和，如1/2+3/8必然小于1，因为每个加数都不大于1/2 。35 年级的学生学习数也学习它们的分类和性质，例如奇数、偶数、素数、合数、平方数。认识这些建立在整除规律基础上的性质，找出素数因子或理解函数关系。68 年级的学生用分数、小数和百分数扩大他们的工作，使得他们能够灵活运用等价关系和策略来给有理数排序和比较大小。由认为分数是单位数的部分到理解分数也是数，这个认识在中年级完成。学生关于10 进制小数的知识及其运用也在这时完成。加上用有理数进行估测，学生在6 8 年级也发展了分数和小数的计算策略

12、。在整个中年级，对很大的数及这些数代表什么的理解继续发展。学生使用计算器或数学用表这样的工具处理和分析数据，并且学习用科学记数法表示很大或很小的数。随着由自然数到整数的扩充，中年级学生对顺序和量的知识也扩充了。在学习勾股定理和圆周长时，他们也遇到像和 这样的无理数。在 912 年级，课程的其他内容比数的内容更突出，然而随着学生用更全面的观点来看已熟悉的数系， 他们对数的性质的理解继续深化。科学记数法和矩阵表示，成为可能实现的事。复数也加入学生的视野，他们还认识到当实数系扩大时实数的全部性质并不能都保留。理解运算的意义和它们彼此间的联系为使运算流畅， 学生必须理解算术运算的意义。这包括对一个特定

13、的问题决定实施什么精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - -运算，同样的运算如何运用于不同的问题，运算之间有何联系，及预料会产生何种结果。在低年级， 学生遇到各种问题涉及加减法的意义。减法可以被认为是取走 或是比较两部分的大小。重要的是加减间的关系。2 年级前，随着学生解决他们所接触的问题，可以开始学习乘除法的意义。这样的问题包括： 做 4 份三明治需要多少片面包？怎样把一包葡萄干平分给 4 个人？虽然2 年级前的教学强调加减法，学生却自然地会接触到像乘除法这样的其他运算问题，对此应提倡。

14、乘除法的意义，尤其对于整数的运算，成为35 年级教学的中心。借助图示或实物，学生进入乘除运算情景，认识加减乘除之间的关系。运用常规的和有创造性的运算策略，学生运用并认识交换律、结合律和分配律及0 和 1 的特性。 计算策略的发展和比较提供了揭示算术本质的机会。例如， 对乘法法则的描述被分散于多处，除法的技巧蕴于反复出现的过程中。在 68 年级，重点是对有理数运算的理解。这个水平的学生也巩固和发展整数的运算。学生对于运算的直觉需要随数系的扩充而不断完善（graeberandcampbell1993 ） 。例如，正数被一个小于1 的的分数乘所得结果小于其本身，这与学生原有的乘积总大于乘数的认识相悖

15、。在整数的减法中结果也不再总是 往小变 。学生也应注意乘除之间的相反的关系及分数与其倒数的关系。在68 年级，适当的推理是分数、小数、比和比率这些运算的基础。在低年级， 学生所做的多数比较是关于加减法的，如高多少？ 或 多多少？ 在中年级， 学生在涉及数对的比率和比较时应更熟练，例如这样的问题：3 袋可可能做15 杯巧克力， 做 60杯巧克力需多少袋可可？在 912 年级，学生继续学习运算并建立运算与其他课题的联系。复数的加法等价于向量的加法，复数的乘法的几何解释是旋转和伸缩的结合。建立早期的函数关系如求第n个根， 绝对值， 方幂与数的运算类似。学习像封闭性这样的运算性质是理解代数系统的一部分

16、。熟练地运用计算工具、策略和适当地估计成年人经常使用许多种有效的计算工具，包括智能计算机，纸和笔，估值及计算器。学生需要能帮助他们选择适当工具的经验。当选择一种方法时应考虑问题内容及涉及的数。这些数是否能巧妙地处理？这些内容是否需要进行估计？这个问题是否需要重复而繁杂的计算？学生应在问题环境中决定是否需要估计值或精确回答，并能对所做决定说出道理。当学生解决问题时估计与精确计算的技能应互相配合使用。8 年级前，学生期待着发展建立在他们的知识基础上的关于数和运算的计算策略，并使之不断深化。通过师生间对运算法则的讨论，学生看到乘法解决问题的可行性及其优越性。学生应能熟练计算，以及掌握对于要解决的问题

17、有效而精确的计算方法。发展计算的熟练程度， 要求对于概念的理解， 合理安排运算的程序及迅速抓住数的基本性质之间的平衡与联系。另一方面，没有概念作基础的运算策略的应用，往往被遗忘或记错（kamii1998 ） 。此外，缺乏熟练计算能力的理解会影响对问题的解决。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - -发展 2 年级以前的学生对整数及其加减运算的理解，教学重点应放在发展关于各种大小的数的运算策略上，如一位数或多位数。学生自发的运算策略应被讨论和分享。2 年级结束时，学生应能回顾加减的基本法则，

18、熟练地做2 位数的加法，会做2 位数的减法。在 35 年级，学生中自发形成的和传统的关于整数的四则运算策略已被学习，并用于大的数，而且运用得很熟练。gravemeijer （1998）基于他的深入研究，指出：学生发展解决问题的能力中，作为基本工具的数学概念、记数法及运算程序是基础。在解决某些类型问题的过程中，非正规的算法可能会走在形成通常的正规算法之前。在教师的指导下， 这些非正规的算法可以发展和并入传统正规算法。但是， 学生可能仍选择先前的对解决问题有价值的非正规算法。在这些年级学生也发展并开始应用小数的乘法，复习乘除的基本法则。有理数的概念是这个阶段的教学重点，并且它们会引出分数的非正规的

19、算法。例如，在5 年级， 1/4+1/2这样的问题应灵活轻松地得到解决，因为学生应清楚1/2 和 1/4 的几何表示， 或能用分解的策略，如 1/4+1/2=1/4+(1/4+1/4)。分数和小数是6 8 年级的教学重点。分数和小数的计算策略，应建立在此前年级发展的概念知识上。学生到68 年级应能用通常遇到的分数进行理性的运算和具体表示。在68 年级，学生应发展更一般的能应用于整个分数范围的计算策略。他们也应扩充从整数到小数的计算策略。 人们期望学生们能用有理数进行熟练的运算。由于学生已发展了对整数的意义和表示法的认识，他们也应发展用整数运算的方式。在 912 年级， 学生应把分析和比较算法作

20、为研究数学的一部分。通过比较算法， 他们考虑哪些容易解释，哪些容易运用， 哪些最有效。 他们应能读图表并决定它是否描述了确定一个数能否被3 整除的正确方法。 学生应分析为什么要建立和如何建立算法。在这个水平上，学生能研究整数和有理数的计算方法，也研究他们在高中首次遇到的不熟悉的算法，包括找实数根或求序列的有限差标准 2：模式、函数和代数数学教学纲要应包括关注模式、函数、符号和数学模型， 以便所有学生能够理解各种类型的模式和函数关系；使用符号形式表示和分析数学情形和结构；应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化。说明：幼儿园前 12 年级模式、函数和代数包括系统地使用符号，数学体系

21、的代数特征，现象的模型以及对变化的数学。 这些概念不仅彼此互相关联，而且还与数、 运算以及几何紧精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - -密相联。它们对数学的所有领域都是至关重要的，并且它们组成表达数学的基本语言。这个标准里的思想观念形成了学校课程的主要组成部分。在方程解的研究中， 代数有根。 这个科目已向几个方向发展，它包括方程的学习，抽象事物的推理，归纳，以及符号概念的中心意思。所有这些发展都应在学校课程中得到反映。对模式、函数和代数的学习应在低年级非正式地开始，然后在学校的学习中逐步

22、向深度和广度发展。 早期接触模式、 函数和代数的概念， 能为在初中后阶段和 整 个 高 中 阶 段 更深 入 细 致 地 关 注 这 个 领 域 的 学 生 提供 部 分 理 解 基 础（smith1998）。理解各种类型的模式和函数关系制作、认识和拓展模式对儿童们来说是非常自然的活动。早期接触模式的工作是识别规律性，认识不同形式的相同模式，以及应用模式去推测数值。例如， 红蓝蓝红蓝蓝红蓝蓝与abbabbabb具有相同的模式，所以其第 12 个元素是蓝。从简单的状况出现的模式是函数和序列的萌芽。例如， 如果 1 个玩具 2 美元，那么 1 个玩具， 2 个玩具， 3 个玩具， n 个玩具多少美

23、元？随后接触的一个是增长的模式，例如， 1，3，6，10，15，一个是重复的模式，例如1，1，3，1，1，3， 上述这些例子加深了对模式概念的理解。到了初中和高中，隐藏在模式和序列下的规律性变得越来越复杂，包括那些以指数方式增长的模式。接触作为函数的例子序列， 在中学得到扩展的目的是建立极限和无穷序列这些概念的基础。在低年级，学生注意到每一项通过前一项而得到，来描述象 2 ，4，6，8， 这样的模式，在这种情况下，后一项=前一项 +2。这是递推思维的开始。以后，学生能够研究被定义的序列以及通过递推得到的序列，如 fibonacci 序列1，1，2，3，5，8，在这个序列中，每一项都是前面两项的

24、和。在许多科目中，递推数列非常自然地出现，并可通过技术手段来研究。912 年级的学生研究由递推产生的函数和模式。最初接触模式时，一个重要的步骤是，学生经常口头地表述隐含的规律性，而不是应用数学符号来表示 （englishandwarren1998 ）。学生数学课程的一个目标是基于口语表述， 提供给学生足够的经历， 使他们舒适地、 流利地使用数学符号表示归纳的结果。函数的早期萌芽和它们的表示， 包括这样一些活动， 记录日常气温或在图表中随时表示随着平面高度的变化产生温度的变化。在低年级可以使用函数图象来描述函数。在 68 年级线性函数和对函数图象的解释是学习过程中特别重要的东西。对 912年级的

25、学生来讲， 尽管已经系统地学习其他一些函数，如多项式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - -函数、指数函数、三角函数，但对函数图象的解释仍然是重要的。在高中，这种系统的学习应建立在学生早期有过的代数思想的经历上。熟悉函数的解析表示、数值表示以及图象表示是非常重要的。 在这些表示中，能力是向思维深度和容易的方向发展。坐标几何使函数和关系的图象表示以及观察函数和关系的几何性质， 如图象的对称性， 成为可能。 图形计算器和计算机能够帮助学生进行图象和数值表示方面的实验，检验和对比函数的不同性质

26、。 包括两、三个变量的函数之间的关系可以有几何表示，在 yz 平面内，当抛物线 z=y2绕 z 轴旋转会得到什么？所得图象如何用代数表示？许多学生首次理解函数的概念是通过如下一系列教学过程， 任给一个n，如 n=0，1，2，3 时，求 2n的值（vinneranddreyfus1989 ）为了帮助学生发展对函数概念的更深的理解， 对函数的多种表示如数值表示、图象表示、 解析表示有相当丰富的经历是必需的。使用符号形式表示和分析数学情形和结构数量关系的符号表示是代数的灵魂。概括地说，它能使复杂的数学被简明地表达出来， 而且符号和表达式能够提供探索和发现解决问题的途径。然而，这种作用也遇到会一系列概

27、念障碍，例如，变量的概念是相当复杂的。在低年级，典型的一个例子是在下面式子中空位处的一个特定的数字是一个变量+2=11。以后，学生会学到方程3x+2=11中的变量 x，方程中的变量 x，这两个变量的意义是不同的， 而且它们与公式中的变量的意义不同。完全理解变量 的 概 念 需 要 相 当 长 的 时 间 ， 它 需 要 丰 富 的 实 践 经 历 作 为 基 础（wagnerandparker1993）。另一个在理解数量关系的符号表示的概念困难是关于相等的概念。相等的符号可以以不同的方式被察觉。 例如， 对在算术计算中广泛经历的相等符号的结果。学生一个典型的察觉是，把相等符号作为计算的符号（k

28、ieran1981 ）。然而，在高中之前， 学生也需要学习到把相等符号作为相等和平衡的符号。总之，如果学生在发展他们工作中固定的概念基础之前，学生被要求从事较多的符号演算，但他们不能进行更多地机械性的演算（wagnerandparker1993）。关于符号概念有意义的工作基础需要持续相当长的时间，从低年级开始， 直到初中或高中阶段正式接触“代数”这门课程。当儿童接触数时， 他们常常采纳在本质上是代数化的策略。教师们可以以相似的方式建立这种自然的趋势。例如，一个儿童可能注意到“4+5=4+4+1 ”和精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7

29、页，共 40 页 - - - - - - - - -“5+6=5+5+1 ”等等。把他或她观察到的介绍给另一个儿童时，学生可能画出如图 32 所示的图：图 322+1 使用图形作为一个范例以及不是一个孤立事件的记录使代数表示图象化。或者，儿童可能会说“ 2+1”，因为这种表达表示的是一个归纳，它就是代数化。在 68 年级，代数表示变得越来越正规，因此在符号、肖像、具体和几何之间再加上一个强有力的透视。 当它们被几何化后， 即使复杂的代数关系也变得清晰起来。 当学生在进行系统的推理、 复杂的代数符号演算时， 学生很容易理解几何表示。例如，图33 帮助我们解释为什么前n 个奇数的和等于 n2。图

30、33学生能够给出像“ 1+3+(2n 1)=n2”关系的符号表示，而且，以后学生能给出它的数学演绎证明。 因此，这种代数归纳可以以两种不同的方式得到发展和证实，一种在中学阶段学生能够接受，而另外一种需要较多的数学准备。两种方式互相补充，事实上，每种方式都能揭示不同的数学情形。代数和几何彼此向对方渗透， 正如学生把几何思想代数化。例如，一个半径为 r 的土球被加工成一个半径为r 的土圆锥，问圆锥的高是多少？代数结构的概念来自于对数的演算的关注。理解封闭性（如两个正整数的和仍是正整数，而两个正整数的差不是正整数）和代数性（如加法符合交换律，而减法不符合交换律）对于学习诸多的系统，包括数系、多项式系

31、统、函数系统和矩阵系统来说，是非常重要的。学生能够对运算进行推理，例如，他们发现减法运算是加法运算的逆运算。 考虑一个复杂的数系时， 询问关于数系的内部互相联系的问题，以及找出这些问题的解法，对于学习数学是非常重要的。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 40 页 - - - - - - - - -数学结构中另一个重要的部分是同构的概念，即表面看似不同， 而实质相同的数学结构。例如，两种不同的物理情形，可用相同的图形把他们模型化。这显示两种不同的过程具有相同重要的数学特征。应用数学模型以及分析在实际和抽象的背景下的数学模型变化数

32、学的一个强有力的应用是现象的数学模型。应用符号记法是模型化的中心。例如，分配律和交换律、物理定律、人口模型、以及对数据集的统计都可以用符号语言表示出来。 在任何复杂的表格的使用中，代数是不明晰的。 如果能够很好地理解数集之间的关系， 那么这种理解能用变量、 函数、关系的语言表示出来。基于以上事实， 对于学生来说， 从低年级开始， 把众多现象数学模型化是非常重要的。 随着学生对标准函数族的熟练程度，他们能够应用线性函数、 指数函数等把一些现象模型化， 且可用它们进行鉴别。 三角函数表示周期现象是非常有用的。基于计算机的实验室的应用能够使学生快速地从物理实验中获得可靠的数据，这样就能扩大对状况所作

33、模型的使用范围。计算机或计算器的图形、数值、或符号功能可被用于探讨这个模型可能的变量的作用。在解决涉及这些变化的情形中，最大值和最小值是非常重要的。对变化的最终研究是在微积分中，但学生在正式学习微积分课程之前，已经对变化讨论了很长时间。在幼儿园前2 年级，一个描绘运动员跑的距离与时间图形的学生能够指出， 在一段时间内距离增长得非常快，而在另一段时间内距离增长得较慢。这个过程依赖于时间函数y=f(t)，它在 steep 区域变化得非常快，而在 shallow 区域变化得非常慢。算术序列和几何序列的不同之处在于，序列中每项的定义依它前一项的方式。对变化的学习与递归思想相连。 低年级的学生能够观察到

34、像5，8， 11， 14， 这种模式，也就是每个数比它前面的数大3。随着学习的深入，他们将学习到序列中更加复杂的变化，像1，3，6，10，在这个序列中，每一项对于后一项来说，是按照比例增长的。又如2，4，8，16，在这个序列中，每一项是前面一项的 2 倍，也就是指数关系。 y=2n总之，模式、函数和代数这些领域内的概念和技能逐步变得深入和复杂。同样地，在这些领域，学生的思维也是随着步入高年级而逐步发展和成熟的。标准 3：几何与空间观念数学教学纲要应关注几何与空间观念，从而使所有学生分析二维和三维几何物体的特征和性质选择和使用不同的表示方法，包括坐标几何和图论精品学习资料 可选择p d f -

35、- - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 40 页 - - - - - - - - -在分析数学情形时认识变换和对称的用处使用想象和空间推理解决数学内外的问题说明幼儿园前 12 年级很多几何应通过活动来学习， 用实物模型、 绘画和软件作为工具。 精心设计的活动，合适工具的获得以及教师的帮助使学生能够对几何结构作出推断，探究其他结构的推断， 对几何进行推理。 最后的目标是使学生系统学习几何形状和结构并在学习中越来越多地使用推理和证明。几何与空间观念是数学教育的重要组成部分，它们提供了通过抽象解释与反映我们的实际环境的途径，它们可以作为学习其他数学与科学知识的工具，它们有

36、助于所有数学里的创造思维。几何思想在表示与解决其他数学领域与非数学背景里的问题的实效应是学生几何体验的主线。 几何表示有助于学生理解面积与分数，坐标图象可以用来分析与理解函数。空间推理有助于使用地图、 计划路线、设计地面方案和创造艺术。几何与空间观念也有助于学生看到他们周围的结构与对称。分析二维和三维几何物体的特征和性质从早期与周围世界的接触， 儿童就开始获得形状与空间结构的体验。儿童应开始探索、识别与描述各种形状并通过探究进行观察。例如，幼儿园前2 年级可以用各种形状认识到矩形很有用， 因为它们有四个 完美的角 。 在以后的年级，学生描述图形的组成部分诸如边与角，以及图形的性质。 例如，用实

37、物或几何软件对各种矩形做实验，35 年级的学生可以推断矩形具有以下性质：有两对相等的边，对角线相等且平分。到68 年级，学生应能演绎证明这些性质中的某些性质可以描述矩形的特征。在 912 年级，学生应能用演绎推理与几何公理及定理研究它们关于图形的推断的对错并用正式推理解决几何图形的问题。在所有水平，应鼓励学生提供关于他们的推断与解法的合适解释。诸如想象、描述、表示、分类、变换与探究的技能通过可视物体发展和形成，技术使学生能够体验大量各种二维和三维图形的相互联系，这些技能随着图形以及性质间相互关系的学习进一步抽象化，最后学生能够描述、 表述、分类并探究用几何体系里逻辑链表达的关系间的联系。学生也

38、应越来越能够在公理体系里得出定理，识别未定义的概念、定义、公理和定理间的区别，进行证明。选择和使用不同的表示方法，包括坐标几何和图论直角坐标系是有力的数学工具， 它使在一种情形下难以解决的问题转化到问题易于解决的另一种情形。 了解直角坐标有助于解决大量问题。特别地，坐标能表示位置、方向和距离，它是联系代数与几何的桥梁。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - -儿童首先学习诸如上面、背后、靠近、之间等相对位置的概念，以后，他们可以用矩形网格确定一间房子里的物体或一张桌子上的物品位置。在中间

39、和中学年级，坐标平面成为确定点的工具。 通过使用地图上的比例尺或毕达哥拉斯定理确定平面上点的距离是中年级的一个重要发展。通过确定顶点的坐标或选择合适的点形成要设计的图形， 几何图形可以被分析表达。 几何软件、 图形计算器和坐标纸可以帮助学生形成平面变换的理解。学生应通过使用直观和坐标表示，分析问题和学习数学获得经验。例如，在小学低年级， 数轴提供了证实正整数加法意义的方法，而这种方法又可以扩展到其他类型的数的运算。在35 年级，格子板有助于学生理解乘法，可以在中间年级或中学考虑更为严重复杂的问题。例如，要使救护车从社区各处到新医院的距离最短，中间年级的学生或许要用出租汽车几何。要使远距离城市的

40、航线最短，912 年级的学生要用球面几何。 而如果学生要使乘飞机到几个城市旅游的费用最少，他们或许要用有限图论。在分析数学情形时认识变换和对称的用处变换是几何思维的重要方面。 儿童入学时不仅有图形的直觉也有图形会动的直觉。通过镜子、折纸和找轨迹获得诸如滑动、 旋转等非正式运动的体验，小学低年级学生可以在本质上把这些思想看成数学的。在更高些年级， 学生关于变换的知识变得更为正式和系统化。35 年级学生应探究变换的效果并能用数学术语描述它们。使用动态软件， 学生就会意识到定义一个变换所需的条件。例如，用一个旋转变换一个图形， 学生需要定义旋转的中心， 旋转的方向以及旋转的角在中间年级，学生应理解全

41、等变换，在变换中全等图形重合，即变换保距。学生应将他们的变换知识扩展到伸缩，并能从量上描述变换。变换应是 912 年级学生解决几何问题的重要工具。例如，它们在全等与相似的学习中用到。复合变换的系统学习可以使中学生从几何角度认识函数集合的代数性质。学生将能作出有关变换性质的证明并用变换在其他领域进行证明。使用想象和空间推理解决数学内外的问题空间想象包括建立二维和三维物体的表象并从不同方面认识同一物体。空间想象的一个方面包含二维和三维图形与性质的变换。在小学低年级学生用网格纸折方块作为学习预测一个网格纸能否折成一个方块的一步。在中间年级， 学生应能作图并有俯视图或侧视图通过各种几何物体的手工操作和

42、使用能够旋转、伸缩二维和三维物体， 学生发展想象技能。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - -随着年级的增高， 学生应熟练分析和画出视图，数出组成部分， 描述不能看到但能推出的， 学生需要在当他们形成对全等、相似和变换的理解时， 学会实际操作在头脑中改变实物的位置、方向和大小。想象可以用来作为形成推断或论证的工具。儿童确信如果他们把 菱形 看作旋转一个角度， 它实际上是一个正方形。 年龄稍大些的学生或许在证明两个三角形全等时， 用空间推理决定合适的对应。在更高水平上， 空间推理或许有助

43、于比较平面曲域绕指定轴旋转所成的立体的体积，相似有助于学生认识比例关系。想象与空间推理因学生日常广泛接触计算机与其他技术而得以促进。通过将这一体验与学校几何相联系， 学生可以获得解决几何与其他数学领域的问题的重要工具。在学生的整个发展过程中， 几何与空间理解不仅增长也在结构上变化。虽然本标准阐明的焦点领域应在每个年级水平上详述，学生理解和打交道的几何物体将随他们不断升学而扩展。标准 4：测量数学教学纲要应当包括对于测量的注意，使得学生能够理解物体可测量的属性、测量单位和测量系统；应用各种技巧、工具和公式进行测量。说明：幼儿园前 12 年级由于测量在日常生活的各个方面的实用性和渗透性，因此它在

44、k12 年级以前的课程中是很重要的。 学习测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识（包括数字运算、几何猜想、统计概念和函数观念）的机会。测量包含很多重要方面，它们对于学生来说并不是那么陌生。这其中包括认识事物具有可测量的属性，例如长度、质量、面积；选择合适的测量单位；理解测量系统的各个方面以便使得概括和扩展成为可能。另外，测量可以通过各种手段（包括应用工具、规则、间接测量、成功的估算、度量）来完成。理解物体可测量的属性、测量单位和测量系统；物体的可测量的性质是指它是可以度量的。线段有长度，平面区域有面积，物体有质量。对于儿童来说，物体的自然属性比其他性质更为直观。例如，一支铅笔的长度比起它

45、的周长和体积来说更为显而易见。帮助儿童理解物体的属性是帮助它们学习测量的一个关键步骤。测量对于儿童来说是从应用一些诸如 长 、 短 之类的语言来比较物体的属性时开始的。可以通过多种途径把儿童的注意力吸引到它们要测量的属性上来。例如：一种途径，通过问像 你能在教室里发现精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - -什么东西比你矮 之类的问题来比较物体的长度；另一种途径是让学生来看是否一个平面区域 （例如它的手掌） 能用豆子盖住。 其他的更抽象的属性， 例如体积、温度、角度等是不容易描述的，它们

46、对于35 年级的学生来说更容易理解。在中、高年级，描述属性（测量的比），像速度、密度、三角比、分析数据等，已经成为学生们经常要做的东西。但是，无论什么水平，学生们在使用工具测量或使用公式计算大小之前应当已经对所认识的事物的属性有了许多日常的经验。当学生们对自然界不同的特性有不同的认识时，它们就会根据经验选择计量单位去测量那些特性。儿童们用单位去比较事物，常常用单位去 替代 其属性。例如，幼儿园前 2 年级的儿童会用裁纸刀去量铅笔的长度，或用选定的正方形为单位量一块区域， 测量体积时， 它们会用玻璃杯里的水装满容器来测量。儿童们会应用各种物体， 比如裁纸刀、吸管量长度， 方形瓦片量面积， 用纸杯

47、量体积，它们的大小被记录成单位名称。在低年级，单位的 标准化 后来变得非常重要，当学生们注意到用 joey 的脚量的教室长度同用adriana 的脚量的有很大出入时，决定用谁的脚作为标准单位成为重要的事情。在这个阶段学生也开始用给定的量度去认识事物，比如，一个能装满12 杯沙子的容器或一支有3 个裁纸刀长的铅笔。在中学阶段， 学生们能创造出画一间房间和内部家具的尺度。计量单位是常规的测量系统的一部分， 像英寸和英尺 （在通常的英语体系中） 或厘米和立方厘米（在十进制里），能在学生们用通常的事物作单位以后用作测量单位。测量依赖于计量单位是一个基本的认识。在低年级的后期， 学生们会认识到计量单位在

48、测量中所扮演的角色的重要。在中等年级，当学生们测量事物的较为抽象的属性时，计量单位也变得很复杂，包括米/ 时、磅/ 英寸 2、单位的代数运算成为 912 年级的学习重点的一部分， 当学生们学习测量单位时， 这些单位也在不断变化着。学习如何选择计量单位是理解测量的主要部分。举个例子：当测量面积时重要的是要决定用哪种测量单位， 比如一个正方形区域。 方便也是一个要考虑的因素，用选中的测量单位测量时， 所得到的应当是一个合理的数字，用裁纸刀去量铅笔而不能用它去量足球场的长度就是这个道理。准确也很重要， 用较小的计量单位可在测量中得到更精确的结果。 精确的要求包括计量单位的选择和使用工具的选取；这些选

49、择决定于被测量事物的特点。在 912 年级，对属性的理解和单位的选取变得较为复杂。 这里关键是要弄清问题存在的条件，选取一个结构来表示并进行测量。在美国，用英制测量还很普遍， 从低年级到高年级学生们同时学习英制和十进制。学生们必须认识这两种测量体系，能够换算， 并用这两种测量体系熟练地进行测量。有一个例子，一个学生说：我住在离学校一英里远的地方，大约有2 公里 ，学生们从此会发现了解英制与十进制的关系是非常有用的。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - -了解测量系统能加强和帮助学生们理

50、解以十进制为基础的的体系的各个方面，以及使用比例的原因。例如：因为十进制是建立在十为基础的结构上，学生学习十进制的测量有助于它们理解位置值。十进制有很好的内部结构， 下一个较大单位的大小总是以同样的方式与前一个单位相联系。例如1 厘米是 1 毫米的10 倍，1 分米是 1 厘米的十倍等等。有些关于测量的基本特征需要各个年级的学生研究和理解。许多种儿童们用来测面积的测量方式和使用最精确的单位是相同的。在低年级后期， 学生们认识了全等三角形， 它们即使位置不同也有相等的周长和面积。测量面积需要把整体分成几个部分。 低年级的学生需要把1 个矩形分成 2 个三角形，即使把每一块移走拼成新图形， 它的面

51、积与原来是相同的。 他们也能注意到周长不再相等新图形的周长不等于最初图形的周长。这样的观察能给数学理论提供有意思的内容，并涉及到像恒等不变量之类的较为复杂的概念。应用各种技巧、工具和公式进行测量。测量过程包括选择测量单位、 根据被测量事物的属性比较这些单位、得出数据或数据的范围。当学生们对于被测量的属性以及测量过程中单位的重要性的认识得到发展时，他们能用技巧、 工具和公式去测量。 测量技巧是进行测量的战略，技巧可能是计数，反复、判断，或使用工具、公式。测量工具包括直尺、卷尺、容器、比例尺、钟表、秒表等。公式通常含有变量，给定数值后可以得出大小。学生们对于不同的测量技巧的选用取决于要测量的特性和

52、测量的目的。例如：用不同的方法得出矩形地板的面积，学生们可能会用以前关于尺寸标准的经验估计面积， 根据地板砖的大概面积求和得出地板面积，或测量长、 宽用公式计算出面积。这些方法通过必要的单位换算可以得出大致相同的测量值。在测量中使用的另一个重要技巧是取近似值。所有物理测量结果都是近似值，应当鼓励学生在他们的测量结果画出界限。例如，要得到一个脚印的面积，学生们可以在脚印上画出透明的正方形格子，计算出在边界内的正方形的面积，再计算出被脚印轮廓切过的正方形的面积。学生们将认识到面积落在内、 外界之间。格子分得越细，内、外边界线越接近。在现实中，细分的程度是有限的。这种近似值的应用是微积分学概念的重要

53、先驱。测量工具是大多数人测量时所熟悉的装置。使用测量工具常常有赖于一些数学知识，比如分数（这意味着不能在尺子上做记号）和数列。在日益发展中，测量工具越来越技术化因而掩盖了它同属性之间的联系。例如，尺子是真正接近长度特征的工具。 比较一下， 强有力的几何软件用于测量角度，不如用量角器更容易观察到联系。儿童们熟悉的复杂的工业测量工具包括计时表、温度计、深度计、以及测量速度和距离的电脑传感器。选择与被测属性适合的工具是非常重要的。公式可以用于得出测量结果。 并且无论什么时候， 数学教学将会帮助学生理解这些公式。许多中小学的孩子们理解周长、面积、体积有困难（kenneyand 精品学习资料 可选择p

54、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - -silver ； lindqwst1989 ） 通常，我们给出孩子们这些公式， 比如：p=2l+2w， a=l*w，v=l*w*h ，但是他们并不理解这些公式与被测量属性之间的联系，以及计量单位是如何选取的。 在公式和自然事物之间应当建立起强大的联系。例如，当一个学生被告知一个矩形的尺寸4cm*8cm 并要求用公式计算出面积时，那么这个学生必须这个公式是用平方厘米作单位计算矩形面积的一条捷径。另一个例子，高年级的学生能根据图36，用计算平行四边形面积的知识得出圆面积公式

55、（ a=pr2）。图 36在 35 年级，学生们要了解用类似于1035的比例尺在纸上表示的矩形实际大小。比例尺，常被用在地图或计算图表的上，适用于用公式进行测量。一张地图，是运用测量工具及技术将图上距离通过比例与实际距离联系起来的一个描述。在中学阶段， 学生们能处理更复杂的工业测量工具和测量原理。出版的关于精确测量及使用的错误方面的资料更适合于这些年级。测量是 12 年级以前的学生要学习的一个内容。对于使用具体事物尤其有意义。事实上，学生们不可能对没有亲身经历的事物用工具测量，得到对测量概念的深入理解。培养测量概念比较复杂，需要跨越多个年级，并且，教师的课程不能每年重复同样的测量理论。 最终，

56、测量对于数学本身以及数学领域外的像社会学、艺术、物理、以及学生自身的兴趣及体验都是一种重要的工具。标准 5：数据分析，统计和概率数学教学纲要应关注数据分析，统计和概率从而使学生提出问题并搜集，整理和表示数据来解决提出的问题；用数据分析方法解释数据；形成并评价基于数据的推理，预测和争论；理解和应用机会和概率的基本术语。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - -说明: 幼儿园前 12年级不断发展的技术使我们分析数据的能力有了显著变化。有助于商业， 政治和研究领域被用于决策的数据的数量快速增长

57、。消费者调查被用于产品的研制和市场营销。民意测验被用于决定政治竞选的策略。实验被用于决定新的医疗处理。同样重要地， 统计常常被误用来左右舆论和错误地表示商品的质量和效用。统计知识对于学生成为有识之士和明智的消费者是必不可少的，而统计推理也是需要学习的。数据分析，统计和概率的学习为学生将数学与学校其他科目以及他们在日常生活里具有的经验联系起来提供了一条自然的途径。数据是从具体背景里产生的，即从存在事物的全体或样本的观察搜集而来或通过模拟产生。学生应学会提出有研究价值的问题；设计，实施并解释一份调查；研究，实验或搜集相关数据并用它决策； 确定他们对决策信心如何， 最后交流这些结果。 他们能够通过对

58、数据搜集过程的反思和评价得出准确和有价值的结论。解释数据出现的偏差是可以控制的，而对统计推理的过程的理解有助于学生得出准确和有价值的结论。这个结果事出偶然的可能性有多大? 如果试验做很多，很多次，那么这个试验得出一个特定结果的可能性如何? 对诸如此类的问题的回答要靠以概率为基础的推理。儿童通过教室里的学生或书包里的彩色笔对机会和随机性有了最初的理解。有两种情况，一种是可控制，定义好的情况，在这种情况下，一个事件的概率易于确定，在另一种情况取样和模拟帮助他们量化一个不确定结果的可能性。统计和概率的坚实基础提供思考的工具和方法，这将使学生终身受益。 由于儿童在学校学的一些东西对他们来说是预定的，因

59、此他们学到涉及依赖于假设并具有一些不确定性的问题的解决方法是重要的。统计和概率所用的这类推理不总是直觉的， 因而如果课程不包含这项内容，它就不会在儿童的头脑中形成。学生将受益于明智地处理变化与不确定性的能力。提出问题并搜集，整理和表示数据来解决提出的问题；为了理解统计， 学生必须直接与数据打交道。 这意味着以儿童对他周围世界自然而然的兴趣为基础。 问多少 ， 哪一类 ， 这些中的哪些 非常自然地产生。虽然这些问题不总是与问题有关，但它们确实提供了开始学习数据的机会。通过搜集与自身关注的问题有关的他们自己的数据。确定他们每天遇到的， 根据这些将事物分类，学生懂得数据可以用来了解现象，回答问题和作

60、出预测。随着学生进入以后的年级， 他们不断提出基于时事和兴趣的探究问题。例如，68 年级的学生也对环境利用或环境保护感兴趣，提出 在咖啡厅用纸盘是否更好的问题。中年级学生更关注商品和制造商的声明，如 一种品牌的电池比另一种更经用 ，并关注公平问题。 他们会问 去掉一个最低分并对其他分数取平均的评分方法公平吗 ?通常关于事物的问题并不是清楚地显现为关于人或物的群体的问题。用数据可以提供答案的方式陈述问题是富有挑战性的。媒体提供能够得出有用信息的问题的大量例子，也提供并不是易于得出明确结果的例子。例如，调查一部分人他们倾向于哪位政界候选人可以得出一些有用的信息。然而，也可精品学习资料 可选择p d f -