预测美国人口

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预测美国人口

2024-04-24 19:36| 来源: 网络整理| 查看: 265

预测美国人口打开实时脚本

此示例说明，即使使用次数最适中的多项式外插数据也是有风险且不可靠的。

此示例比 MATLAB® 出现得更早。该示例最初作为一个练习出现在福赛思、马尔科姆和莫勒尔合著的《Computer Methods for Mathematical Computations》一书中，该书由出版商 Prentice-Hall 在 1977 年出版。

现在，通过 MATLAB 可以更容易地改变参数和查看结果，但基础数学原理未变。

使用 1910 年至 2000 年的美国人口普查数据创建并绘制两个向量。

% Time interval t = (1910:10:2000)'; % Population p = [91.972 105.711 123.203 131.669 150.697... 179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]'; % Plot plot(t,p,'bo'); axis([1910 2020 0 400]); title('Population of the U.S. 1910-2000'); ylabel('Millions');

那么猜想一下 2010 年美国的人口是多少？

pp = 10×1 91.9720 105.7110 123.2030 131.6690 150.6970 179.3230 203.2120 226.5050 249.6330 281.4220

将这些数据与 t 中的一个多项式拟合，并使用它将人口数外插到 t = 2010。通过对包含范德蒙矩阵的线性系统求解来获得多项式中的系数，该矩阵为 11×11，其元素为缩放时间的幂，即 A(i,j) = s(i)^(n-j)。

n = length(t); s = (t-1950)/50; A = zeros(n); A(:,end) = 1; for j = n-1:-1:1 A(:,j) = s .* A(:,j+1); end

通过对包含范德蒙矩阵最后 d+1 列的线性系统求解，获得与数据 p 拟合的 d 次多项式的系数 c：

A(:,n-d:n)*c ~= p

如果 d < 10，则方程个数多于未知数个数，并且最小二乘解是合适的。

如果 d == 10，则可以精确求解方程，而多项式实际上会对数据进行插值。

在任一种情况下，都可以使用反斜杠运算符来求解方程组。三次拟合的系数为：

c = A(:,n-3:n)\pc = 4×1 -5.7042 27.9064 103.1528 155.1017

现在，计算从 1910 年到 2010 年每一年的多项式，然后绘制结果。

v = (1910:2020)'; x = (v-1950)/50; w = (2010-1950)/50; y = polyval(c,x); z = polyval(c,w); hold on plot(v,y,'k-'); plot(2010,z,'ks'); text(2010,z+15,num2str(z)); hold off

将三次拟合与四次拟合进行比较。请注意，外插点完全不同。

c = A(:,n-4:n)\p; y = polyval(c,x); z = polyval(c,w); hold on plot(v,y,'k-'); plot(2010,z,'ks'); text(2010,z-15,num2str(z)); hold off

随着阶数增加，外插变得越来越不可靠。

cla plot(t,p,'bo') hold on axis([1910 2020 0 400]) colors = hsv(8); labels = {'data'}; for d = 1:8 [Q,R] = qr(A(:,n-d:n)); R = R(1:d+1,:); Q = Q(:,1:d+1); c = R\(Q'*p); % Same as c = A(:,n-d:n)\p; y = polyval(c,x); z = polyval(c,11); plot(v,y,'color',colors(d,:)); labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)]; end legend(labels, 'Location', 'NorthWest') hold off

另请参阅

polyfit

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