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文章目录
写在前面素数、合数定理：带余除法
整除、因数
★
\bigstar
★命题：除数整除被除数的倍数和
公因数、最大公因数除数与被除数的最大公因数等于除数与余数的最大公因数辗转相除法:求两整数最大公因数的统一方法
互素
★
★
\bigstar\bigstar
★★定理：两整数互素的充要条件证明
互素整数的重要性质及推广
素数的重要性质证明
算术基本定理
写在前面
最近学习了丘维声教授的课程《数学的思维方式与创新》，总结一下课程中关于素数的一些主要性质及证明。
素数、合数
设
m
m
m是大于
1
1
1的整数，如果
m
m
m的正因数只有
1
1
1和
m
m
m自身，那么称
m
m
m是一个素数（或质数），否则称
m
m
m是合数。
定理：带余除法
任给
a
,
b
∈
Z
a,\,b\in\mathbb{Z}
a,b∈Z，且
b
≠
0
b\neq0
b=0，则存在唯一的一对整数
q
,
r
q,\,r
q,r，使得
a
=
q
b
+
r
,
0
⩽
r
<
∣
b
∣
,
a=qb+r,\quad0\leqslant r3：由于
p
∣
a
b
p\,|\,ab
p∣ab，假设
p
∤
a
p\,\nmid\,a
p∤a，则由性质2，有
(
p
,
a
)
=
1
(p,\,a)=1
(p,a)=1，再由整数互素的性质1，得到
p
∣
b
p\,|\,b
p∣b。3->4：假设
p
=
p
1
p
2
,
0
<
p
1
<
p
,
0
<
p
2
<
p
p=p_1p_2,\,0 |