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1、8最小二乘估计教学分析教科书通过思考交流引入了最小二乘法，进一步提出了线性回归方程，在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中，向学生展示创造性思维的过程，帮助学生理解最小二乘法的思想通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考，使同学们了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程，体会线性回归方程作出的预测结果的随机性和并且可能犯的错误进一步，教师可以利用计算机模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性和规律性三维目标经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程重点难点教学重点：求线性回归方程，以及线性回归分析教学难点：确定线

2、性回归系数课时安排1课时导入新课思路1.客观事物是相互联系的，过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上，数学成绩和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另一种非确定性关系相关关系为表示这种相关关系，我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程思路2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/ 2618131041杯数2024

3、34385064如果某天的气温是5 ，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题，我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程推进新课1画散点图的步骤是什么？ 2正、负相关的概念是什么？3什么是线性相关？4观察下面人体的脂肪含量百分比和年龄的散点图，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？图15什么叫作回归直线？6如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？7利用计算机如何求线性回归方程？活动：学生回顾，再思考或讨论，教师及时提示指导讨论结果：1建立相应的平面直角坐标系，将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作

4、散点图2如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关3如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关的关系4大体上来看，随着年龄的增加，人体中脂肪含量的百分比也在增加，呈正相关的趋势，我们可以从散点图上来进一步分析5从散点图上可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程)，那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性就像平均数可以作为一个变量

5、的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表6从散点图上可以发现，人体的脂肪含量百分比和年龄的对应点，大致分布在通过散点图中心的一条直线附近那么，我们应当如何具体求出这个回归方程呢？有的同学可能会想，我可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就可得到回归方程了但是，这样做可靠吗？有的同学可能还会想，在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同同样地，这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？还有的同学会想，在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线

6、的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行？(学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对，确定几条直线方程再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距)教师：分别分析各方法的可靠性如图2、图3、图4： 图2 图3图4上面这些方法虽然有一定的道理，但总让人感到可靠性不强实际上，求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”人们经过长期的实践与研究，已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式这样得

7、到的直线方程yabx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数推导以上公式的计算比较复杂，这里不作推导但是，我们可以解释一下得出它的原理假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，且所求回归方程是yabx，其中a，b是待定参数当变量x取xi(i1,2，n)时可以得到yabxi(i1,2，n)，它与实际收集到的yi之间的偏差是yiyyi(abxi)(i1,2，n)图5这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的由于(yiy)可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用yiy|来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改

8、用Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差这样，问题就归结为：当a，b取什么值时Q最小，即总体偏差最小经过数学上求最小值的运算，a，b的值由公式给出通过求式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法(method of least square)7见课本本节信息技术应用中利用计算机求线性回归方程的具体操作步骤思路1在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的数据如下表：气温(xi)/2618131041杯数(yi)/杯2024

9、34385064(1)试用最小二乘法求出线性回归方程；(2)如果某天的气温是3 ，请预测这天可能会卖出热茶多少杯解：(1)作出上述数据的散点图，如图6.从散点图中可以看出，表中的两个变量是线性相关的图6先列表求出，其他数据如下表：ixiyixxiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006164164合计702301 2861 910进而，可以求得b1.648，a57.557.于是，线性回归方程为y57.5571.648x.(2)由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是3 时，卖出热茶的杯数估计为57.557

10、1.648(3)62.50163.变式训练下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，请说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求出线性回归方程解：(1)在直角坐标系中画出数据的散点图，如图7.图7直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系(2)计算得b0.077 4，a1.024 1，故所求线性回归方程为y1.024 10.077 4x.思路2下表给出的是一组施化肥量对水稻产量

11、影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程解：(1)画出的散点图如图8.图8(2)计算得b4.75，a257.从而得所求回归直线方程是y2574.75x.变式训练1一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122请判断y与x是否具有线性相关关系，如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程解：在直角坐标系中画出数据的散点图，如图

12、9.图9直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系由测得的数据表可知：b0.668，ab54.96.因此，所求线性回归方程为yabx54.960.668x.2.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：血球体积x/mL45424648423558403950红血球数y/百万6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程解：(1)画出的散点图如图10.图10(2)(45424648423558403950)44.50，(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)7.3

13、7.设回归直线方程为yabx，则b0.175，ab0.418，故所求回归直线的方程为y0.4180.175x.点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a，b的计算公式，算出a，b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数，；计算xi与yi的积，求xiyi；计算x；将结果代入公式求b；用ab求a；写出回归直线方程.1下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系()A角度和它的余弦值B正方形边长和面积C正n边形的边数和它的内角和 D人的年龄和身高答案：D2三点(3,10)，(7,20)，(11,24

14、)的线性回归方程是()Ay5.751.75x By1.755.75xCy1.755.75x Dy5.751.75x答案：D3已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0设y对x呈线性相关关系试求：(1)线性回归方程yabx的回归系数a，b；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？答案：(1)b1.23，a0.08；(2)12.38.4我们考虑两个表示变量x与y之间的关系的模型，为误差项，模型如下：模型1：y64x；模型2：y64xe.(1)如果x3，e1，分别求两个模型中y的值；(2)分别说明以上两个

15、模型是确定性模型还是随机模型解：(1)模型1：y64x64318；模型2：y64xe643119.(2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值，所以是确定性模型；模型2中相同的x值，因的不同，所得y值不一定相同，且为误差项是随机的，所以模型2是随机模型5以下是收集到的新房屋销售价格y与房屋大小x的数据：房屋大小x/m280105110115135销售价格y/万元18.42221.624.829.2(1)画出数据的散点图；(2)用最小二乘法估计求线性回归方程；(3)计算此时Q(a，b)和Q(2,0.2)的值，并作比较.图11解：(1)画出的散点图如图11.(2)计算得b0.196 2，a1.816

16、 6，因此所求线性回归方程为y1.816 60.196 2x.(3)Q(1.816 6,0.196 2)5.171，Q(2,0.2)7.0，由此可知，求得的a1.816 6，b0.916 2是函数Q(a，b)取最小值的a，b值某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(Xi)与公司所获得利润(Yi)的统计资料如下表：科研费用支出(Xi)与利润(Yi)统计表单位：万元年份科研费用支出利润2007200820092010201120125114532314030342520合计30180试据此求出利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型解：设线性回归模型直线方程为Yi01Xi，因为5，3

17、0，求解参数0，1的估计值为12，020，所以利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型直线方程为Yi202Xi.1求线性回归方程2经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程习题182,3.本节课在上节课的基础上，利用实例分析了散点图的分布规律，推导出了线性回归直线的方程的求法，并利用回归直线的方程估计可能的结果，本节课讲得较为详细，实例较多，便于同学们分析比较思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强，另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心，以使其养成良好

18、的学习态度相关关系的强与弱我们知道，两个变量x，y正(负)相关时，它们就有相同(反)的变化趋势，即当x由小变大时，相应的y有由小(大)变大(小)的趋势，因此可以用回归直线来描述这种关系与此相关的一个问题是：如何描述x和y之间的这种线性关系的强弱？例如，物理成绩与数学成绩正相关，但数学成绩能够在多大程度上决定物理成绩？这就是相关强弱的问题，类似的还有吸烟与健康的负相关强度、父母身高与子女身高的正相关强度、农作物的产量与施肥量的正相关强度等统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1in)，则两个变量的相关系数的计算公式为r.不相同的相关性可

19、以从散点图上直观地反映出来图12(1)反映了变量x，y之间很强的线性相关关系，而图12(2)中的两个变量的线性相关程度相对较弱对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号当r为正时，表明变量x，y正相关；当r为负时，表明变量x，y负相关反映在散点图上，图12(1)中的变量x，y正相关，这时的r为正；图12(2)中的变量x，y负相关，这时的r为负另一个值得注意的是r的大小统计学认为，对于变量x，y，如果r1，0.75，那么负相关很强；如果r0.75,1，那么正相关很强；如果r(0.75，0.30或r0.30,0.75)，那么相关性一般；如果r0.25,0.25，那么相关性较弱反映在散点图上，图12(1)的r0.97，这些点有明显的从左下角到右上角沿直线分布趋势，这时用线性回归模型描述两个变量之间的关系效果很好；图12(2)的r0.85，这些点也有明显的从左上角到右下角沿直线分布趋势这时用线性回归模型描述两个变量之间的关系也有好的效果(1)(2)图12你能试着对自己身边的某个问题，确定两个变量，通过收集数据，计算相关系数，然后分析一下能否用线性回归模型来拟合它们之间的关系吗？(设计者：张云芳)8