下边我们进入正题。如何比较处理间的差异？ANOVA的思路是把测量数据的总变异分解为由处理各水平引起的变异和误差变异两部分，然后比较这两部分的大小，通过F检验确定由处理产生的变异是否达到显著水平。

为了检验\(H_{0}\)假设，对平方和、自由度进行分解：

\(S_{T} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2}\)，\(\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n_{i}}y_{ij}\)

\(S_{T}\)称为总离差平方和，是每个样本数据\(y_{ij}\)与总体均值\(\bar{y_{\cdot\cdot}}\)差的平方和。实际上描绘了总体数据的离散程度。

总离差平方和可以进一步分解为处理平方和、误差平方和：

\[S_{T} = S_{A} + S_{E}\]

其中处理平方和：

\[ S_{A} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{i\cdot}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2} \\ = n\sum_{i=1}^{r}(y_{i\cdot}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2} \]

误差平方和：

\[S_{E} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\bar{y_{i\cdot}})^{2}\]

推导过程： \[ S_{T} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2} \\ = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}[(y_{ij}-\bar{y_{i\cdot}})+(\bar{y_{i\cdot}}-\bar{y_{\cdot\cdot}})]^{2} \\ = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\bar{y_{i\cdot}})^2+2\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\bar{y_{i\cdot}})(\bar{y_{i\cdot}}-\bar{y_{\cdot\cdot}})+\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(\bar{y_{i\cdot}}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2} \]

由于上边公式中，中间部分为0，因此可以直接推导出：

\[ S_{T} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\bar{y_{i\cdot}})^2+\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{n}(\bar{y_{i\cdot}}-\bar{y_{\cdot\cdot}})^{2} \\ = S_{E} + S_{A} \]

下边结合第一部分自由度的基础概念，来推导\(S_{T}\)、\(S_{A}\)、\(S_{E}\)的自由度。

对于\(S_{T}\)，有rn个样本，根据公式只受总体均值的约束，因此自由度为\(df_{T}=rn-1\)；

对于\(S_{A}\)，有r个水平，根据公式只受总体均值的约束，因此自由度为\(df_{A}=r-1\)；

对于\(S_{E}\)，查看它的公式，可以推出，对于处理的每个水平，受各自均值的约束，自由度为n-1，因此r个处理的自由度为\(df_{E} = r(n-1)\)。

计算自由度的目的是什么？有什么用？下边在计算均方时，检验变异的显著性时将会用到。