当n个编号元素以某种顺序进栈，并可在任意时刻出栈，所获得的编号元素排列的数目N恰好满足Catalan函数的计算，即N=C(2n,n)/(n+1)。

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

卡特兰数的前几项：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862…

卡特兰数原理：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式  ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

卡特兰数应用之出栈次序：

问题：一个栈的进栈序列为1,2,3，…，n。有多少个不同的出栈序列？

分析：设f(n) = 序列个数为n的出栈序列种数。设最后出栈的元素为k。即在k进栈之前，元素1,2,…，k-1已经出栈，出栈序列数为f(k-1)。在k进栈后，元素k+1,k+2,…，n已经进栈后全部出栈。所以元素k+1,k+2,…,n出栈序列种数为f(n-k)。由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。

解决：f(n) = f(n-k)*f(k-1),其中k=1,2,3,…,n  所以f(n) = h(n)= C(2n,n)/(n+1) = c(2n,n)-c(2n,n+1)（n=0,1,2,3,…,n）