最近帮npy复习概统，用的是陈希孺先生的《概率论与数理统计》。重翻一遍发现还有很多有趣的和容易遗忘的内容，暂且记在这里给自己提个醒，如果能对其他读者有所帮助不胜荣幸。注：文章为笔记性质，一般不涉及原创内容，如果笔者发现某教材上有现成的内容会标明来源并直接搬运（摆大烂~

我们通常用到的组合数，其总数和取出数都是非负整数，并且小于等于，书中p10提到组合数的定义式

不难看出，当是小于的非负整数时，组合数有定义，且总有

为负数时，组合数也有定义，并且对任何非负整数，

其实为任意实数，为非负整数的组合数都有定义，的情况下规定组合数为，为正整数时按公式计算即可

对于扩充到实数上的组合数，我们已经很难看出他的组合意义，其定义看起来也不是很自然，需要从二项式的角度来把握他

可以看到组合数是由广义二项式的系数定义的，这自然的说明了为什么是任意实数，只能是非负整数

不过敏感的读者会发现，由于对称性，和相互交换能得到另一个等式，两个等式都是二元函数项级数形式，不会总是收敛，为了简便我们直接看定理的另一个形式，即

其中

这样二项式系数有如此形式就很好证明了，是一个麦克劳林级数，按照泰勒公式计算其系数即可

我们举一个负数的例子，时

另一个有趣的问题是，或者时，可以得到组合数和或差的性质，其敛散性是不确定的，因为他们刚好是收敛半径的临界点，随而变化，需要分类讨论

（1）时

由拉比（Raabe）数项级数判别法

（2）的情况分为两种，时，组合数绝对值都不小于1

所以在或处发散

（3）分两种情况，时

交错级数递减趋于0，由Leibniz判别法可知其收敛

时，可以与调和级数比较，即

可知其发散

综上所述

上述证明详见常庚哲，史济怀《数学分析教程》p248