8.5 空间直线、平面的平行 |
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\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义! \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学,so \quad easy!}} }}}\) 必修第二册同步拔高,难度3颗星! 模块导图![]() 1 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述:\(a / / b, b / / c \Rightarrow a / / c\) 2 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 线面平行1 定义 直线与平面无交点. 2 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. (俗说:若\(a \not \subset \alpha\),要证明\(a / / \alpha\),则在平面\(α\)内找一条直线与直线\(a\)平行) 符号表述 \(\left.\begin{array}{l} a / / b \\ a \not \subset \alpha \\ b \subset \alpha \end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha\) (线线平行⇒线面平行) 3 性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. 符号表述 \(\left.\begin{array}{c} a / / \alpha \\ a \subset \beta \\ \alpha \cap \beta=b \end{array}\right\} \Rightarrow a / / b\) (线面平行⇒线线平行) 4 证明线面平行的方法 方法1 定义法(反证) \(l \cap \alpha=\emptyset \Rightarrow l / / \alpha\)(用于判断) 方法2 判定定理:\(\left.\begin{array}{l} a / / b \\ a \not \subset \alpha \\ b \subset \alpha \end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha\) (线线平行⟹线面平行) 方法3 \(\left.\begin{array}{l} \alpha / / \beta \\ a \subset \alpha \end{array}\right\} \Rightarrow a / / \beta\)(面面平行⇒线面平行) 方法4 \(\left.\begin{array}{l} b \perp a \\ b \perp \alpha \\ a \not \subset \alpha \end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha\) 面面平行1 定义
\(α∩β=∅⟹α // β\);
判断
(1) \(α\)内有无穷多条直线都与\(β\)平行 ( × );
(2) \(α\)内的任何一条直线都与\(β\)平行 ( √ );
2 判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行;
符号表述:\(a, b \subset \alpha\),\(a \cap b=0\),\(a / / \beta\),\(b / / \beta \Rightarrow \alpha / / \beta\)
【如图】
【典题1】 如图所示,在棱长为\(a\)的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(E\),\(F\) ,\(P\) ,\(Q\)分别是\(BC\), \(C_1 D_1\),\(AD_1\),\(BD\)的中点.
(1)求证:\(PQ//\)平面\(DCC_1 D_1\);
(2)求\(PQ\)的长;
(3)求证:\(EF//\)平面 \(BB_1 D_1 D\).
【典题2】 如图所示,正四棱锥\(P—ABCD\)的各棱长均为\(13\),\(M\) ,\(N\)分别为\(PA\) ,\(BD\)上的点,且\(PM∶MA=BN∶ND=5∶8\).
(1)求证:直线\(MN∥\)平面\(PBC\); (2)求线段\(MN\)的长.
【典题1】 如图,四棱锥\(P-ABCD\)的底面\(ABCD\)是平行四边形,\(M、N\)分别为线段\(PC\)、\(PB\)上一点,若\(PM∶MC=3∶1\),且\(AN∥\)平面\(BDM\),则\(PN∶NB=\) ( )
【点拨】
① 题目中出现线面平行\(AN∥\)平面\(BDM\),理当想到线面平行的性质;
② 线面平行的性质可由线面平行得到线线平行;
③ 在处理很多比例时,利用“份”的概念,可快速清楚各线段之间比例
比如
(1) 1 (★) 如图在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,棱长为\(a\),\(M、N\)分别为\(A_1 B\)、\(AC\)的中点,则\(MN\)与平面\(BB_1 C_1 C\)的位置关系是( )
2 (★) 如图所示,\(P\)为\(▱ABCD\)所在平面外一点,\(E\)为\(AD\)的中点,\(F\)为\(PC\)上一点,当\(PA∥\)平面\(EBF\)时,\(\dfrac{P F}{F C}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
3 (★★) 如图,在四面体\(ABCD\)中,\(AB=CD=2\),\(AD=BD=3\),\(AC=BC=4\),点\(E,F,G,H\)分别在棱\(AD\),\(BD\),\(BC\),\(AC\)上,若直线\(AB\),\(CD\)都平行于平面\(EFGH\),则四边形\(EFGH\)面积的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
4 (★★) 如图.在四棱锥\(P-ABCD\)中.底面\(ABCD\)是平行四边形,点\(M\)为棱\(AB\)上一点\(AM=2MB\).点\(N\)为棱\(PC\)上一点,
(1)若\(PN=2NC\),求证:\(MN∥\)平面\(PAD\);
(2)若\(MN∥\)平面\(PAD\),求证:\(PN=2NC\).
5 (★★★) 如图所示,四边形\(EFGH\)为空间四边形\(ABCD\)的一个截面,若截面为平行四边形.
(1) 求证:\(AB∥\)平面\(EFGH\),\(CD∥\)平面\(EFGH\).
(2) 若\(AB=4\) ,\(CD=6\),求四边形\(EFGH\)周长的取值范围.
参考答案 【答案】\(B\)
【解析】 连结\(A_{1} C 、 B C\),取\(A_{1} C\)的中点\(Q\),\(A_{1} B\)的中点\(P\),
连结\(NQ\)、\(PQ\)、\(MN\),
\(∵\)在正方体\(A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\)中,棱长为\(a\),\(M、N\)分别为\(A_1B\)、\(AC\)的中点,
\(∴NQ∥CC_1\),\(PQ∥BC\),
\(\because P Q \cap N Q=Q\),\(C C_{1} \cap B C=C\),\(P Q, N Q \subset\)平面\(PMN\),\(C C_{1}, B C \subset\)平面\(A_{1} B C_{1}\),
\(∴\)平面\(PNQ∥\)平面\(A_{1} B C_{1}\),
\(\because M N \subset\)平面\(PNQ\),\(∴MN∥\)平面\(B B_{1} C_{1} C\).
故选:\(B\).
【答案】\(\dfrac{1}{2}\)
【解析】 连接\(AC\)交\(BE\)于点\(M\),连接\(FM\).
\(∵PA∥\)平面\(EBF\),\(P A \subset\)平面\(PAC\),平面\(\mathrm{PAC} \cap\)平面\(EBF=EM\),
\(∴PA∥EM\),\(\therefore \dfrac{P F}{F C}=\dfrac{A M}{M C}=\dfrac{A E}{B C}=\dfrac{1}{2}\),故答案为:\(\dfrac{1}{2}\).
【答案】\(1\) 【解析】 \(∵\)直线\(AB\)平行于平面\(EFGH\),且平面\(ABC\)交平面\(EFGH\)于\(HG\),\(∴HG∥AB\); 同理\(EF∥AB\),\(FG∥CD\),\(EH∥CD\),所以\(FG∥EH\),\(EF∥HG\). 故:四边形\(EFGH\)为平行四边形. 又\(∵AD=BD\),\(AC=BC\)的对称性,可知\(AB⊥CD\). 所以四边形\(EFGH\)为矩形. 设\(BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x\),\((0≤x≤1)\),\(FG=2x\),\(HG=2(1-x)\) \(S_{E F G H}=F G \times H G=4 x(1-x)=-4\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+1\) 根据二次函数的性质可知:\(S_{EFGH}\)面积的最大值\(1\). 【证明】 (1)过\(N\)作\(NE∥CD\)交\(PD\)于\(E\),连接\(AE\).
则\(\dfrac{E N}{C D}=\dfrac{P N}{P C}=\dfrac{2}{3}\),\(\therefore EN=\dfrac{2}{3} C D\),
又\(AM=2MB\),\(\therefore AM =\dfrac{2}{3} A B\).
又\(AB=CD\),\(AB//CD\)
\(\therefore AM = EN\),\(AM // EN\)
\(∴\)四边形\(AMNE\)是平行四边形,
\(∴MN∥AE\),又\(\mathrm{MN} \not \subset\)平面\(PAD\),\(A E \subset\)平面\(PAD\),
\(∴MN∥\)平面\(PAD\).
(2)过\(N\)作\(NE∥CD\)交\(PD\)于\(E\),
\(∵NE∥CD∥AB\),\(∴NE∥AB\),
\(∴A,M,N,E\)四点共面,
\(∵MN∥\)平面\(PAD\),\(MN \subset\)平面\(AMNE\),平面\(AMNE\cap\)平面\(PAD=AE\),\(∴MN∥AE\),
\(∴\)四边形\(AMNE\)是平行四边形,\(\therefore NE = AM =\dfrac{2}{3} A B=\dfrac{2}{3} CD\).
\(\therefore \dfrac{P N}{P C}=\dfrac{N E}{C D}=\dfrac{2}{3}\),\(∴PN=2NC\).
【答案】(1) 见解析 (2)\((8,12)\) 【解析】 (1)证明 \(∵\)四边形\(EFGH\)为平行四边形,\(∴EF∥HG\). \(\because HG \subset\)平面\(ABD\),\(∴EF∥\)平面\(ABD\). \(\because E F \subset\) 平面\(ABC\),平面\(ABD \cap\)平面\(ABC=AB\), \(∴EF∥AB\). (线面平行的性质) \(∴AB∥\)平面\(EFGH\). 同理可证,\(CD∥\)平面\(EFGH\). (2)解 设\(EF=x(0<x<4)\),由于四边形\(EFGH\)为平行四边形, \(\therefore \dfrac{C F}{C B}=\dfrac{x}{4}\) .则\(\dfrac{F G}{6}=\dfrac{B F}{B C}=\dfrac{B C-C F}{B C}=1-\dfrac{x}{4}\).从而\(FG =6-\dfrac{3}{2} x\). \(∴\)四边形\(EFGH\)的周长\(l=2\left(x+6-\dfrac{3}{2} x\right)=12-x\). 又\(0<x<4\),则有\(8<l<12\), \(∴\)四边形\(EFGH\)周长的取值范围是\((8,12)\). 【题型三】面面平行的证明 【典题1】 如图,\(ABCD\)与\(ADEF\)均为平行四边形,\(M\),\(N\),\(G\)分别是\(AB\),\(AD\),\(EF\)的中点.
(1)求证:\(BE∥\)平面\(DMF\);
(2)求证:平面\(BDE∥\)平面\(MNG\).
【解析】 (1) \({\color{Red}{方法1 }}\) 连接\(AE\)交\(DF\)于\(H\),连接\(HN\),如图示
【典题2】 如图,在四棱锥\(P-ABCD\)中,\(∠ABC=∠ACD=90^°\),\(∠BAC=∠CAD=60^°\),\(PA⊥\)平面\(ABCD\),\(PA=2\),\(AB=1\).设\(M\),\(N\)分别为\(PD\),\(AD\)的中点.
(1)求证:平面\(CMN∥\)平面\(PAB\);(2)求三棱锥\(P-ABM\)的体积.
【典题3】 如图,在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(M\)是\(A_1 B_1\)的中点,点\(P\)是侧面\(CDD_1 C_1\)上的动点,且\(MP//\)截面\(AB_1 C\),则线段\(MP\)长度的取值范围是( ) A. \([\sqrt{2}, \sqrt{6}]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B. \([\sqrt{6}, 2 \sqrt{2}]\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C. \([\sqrt{6}, 2 \sqrt{3}]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.$ [\sqrt{6}, 3]$
【典题1】 已知两条直线\(a\),\(b\),两个平面\(α\),\(β\),则下列结论中正确的是 ( ) A.若a\(⊂β\),且\(α∥β\),则\(a∥α\) B.若\(b⊂α\),\(a∥b\),则\(a∥α\) C.若\(a∥β\),\(α∥β\),则\(a∥α\) D.若\(b∥α\),\(a∥b\),则\(a∥α\) 【解析】 \(A ∵α∥β\),又\(a⊂β\),\(∴a∥α\),故\(A\)正确; \(B ∵b⊂α\),\(a∥b\),若\(a⊂α\),则\(a\)不可能与\(α\)平行,故\(B\)错误; \(C ∵a∥β\),\(α∥β\),若\(a⊂α\),则结论不成立,故\(C\)错误; \(D ∵b∥α\),\(a∥b\),若\(a⊂α\),则结论不成立,故\(D\)错误; 故\(A\)正确; 【点拨】 ① 线面的位置关系有三种:\(a∥α、a⊂α、a∩α=A\); ② 证明某些选项是错只需要举个反例,比如选项\(C\)是怎么会想到“\(a⊂α\)”这个反例的呢? 运用“运动的思想”,先由\(α∥β\)固定两个平面\(α、β\),再由\(a∥β\)把线段\(a\)由上至下“运动”下来,则\(a、α\)的关系有两种情况\(a⊂α、a∥α\).选项\(B\)、\(D\)也可类似. 【典题2】 已知平面\(α∥\)面\(β\),\(AB\)、\(CD\)为异面线段,\(AB⊂α\),\(CD⊂β\),且\(AB=a\),\(CD=b\),\(AB\)与\(CD\)所成的角为\(θ\),平面\(γ∥\)面\(α\),且平面\(γ\)与\(AC\)、\(BC\)、\(BD\)、\(AD\)分别相交于点\(M\)、\(N\)、\(P\)、\(Q\).
(1)若\(a=b\),求截面四边形\(MNPQ\)的周长;
(2)求截面四边形\(MNPQ\)面积的最大值.
1 (★) 已知直线\(a⊂α\),给出以下三个命题: ①若平面\(α∥\)平面\(β\),则直线\(a∥\)平面\(β\); ②若直线\(a∥\)平面\(β\),则平面\(α∥\)平面\(β\); ③若直线\(a\)不平行于平面\(β\),则平面\(α\)不平行于平面β. 其中正确的命题是( ) A. \((2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B. \((3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C. \((1)(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D. \((1)(3)\) 2 (★★) 在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(E\),\(F\),\(G\)分别是\(A_1 B_1\),\(B_1 C_1\),\(BB_1\)的中点,给出下列四个推断:
①\(FG∥\)平面\(AA_1 D_1 D\); ②\(EF∥\)平面\(BC_1 D_1\);
③\(FG∥\)平面\(BC_1 D_1\); ④平面\(EFG∥\)平面\(BC_1 D_1\)
其中推断正确的序号是 ( )
3 (★★) 已知平面\(α∥\)平面\(β\),\(P\)是\(α,β\)外一点,过点\(P\)的直线\(m\)与\(α,β\)分别交于点\(A\),\(C\),过点\(P\)的直线\(n\)与\(α,β\)分别交于点\(B\),\(D\),且\(PA=6\),\(AC=9\),\(PD=8\),则\(BD\)的长为( ) A. \(\dfrac{24}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B. \(\dfrac{12}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\dfrac{24}{5}\)或 \(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D. \(\dfrac{12}{5}\)或 \(12\) 4 (★★) 已知两平行平面\(α\)与\(β\)之间的距离为\(4\),直线\(a⊂β\),点\(A∈a\),则平面\(α\)内到点\(A\)的距离为\(5\),且到直线\(a\)的距离为\(2 \sqrt{5}\)的点的轨迹是( ) A.一组平行线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.一条抛物线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.两段圆弧 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.四个点 5 (★★) 如图,已知平面\(α,β,γ\),且\(α∥β∥γ\),直线\(a,b\)分别与平面\(α\),\(β\),\(γ\)交于点\(A\),\(B\),\(C\)和\(D\),\(E\),\(F\),若\(AB=1\),\(BC=2\),\(DF=9\),则\(EF=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6 (★★) 如图所示,\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)是棱长为\(a\)的正方体,\(M、N\)分别是下底面的棱\(A_1 B_1\),\(B_1 C_1\)的中点,\(P\)是上底面的棱\(AD\)上的一点,\(A P=\dfrac{a}{3}\),过\(P、M、N\)的平面交上底面于\(PQ\),\(Q\)在\(CD\)上,则\(PQ=\)\(\underline{\quad \quad}\).
7 (★★) 在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\) 中 ,\(DA=DC=1\) ,\(DD_1=2\),分别在对角线\(A_1 D ,CD_1\)上取点\(M ,N\),使得直线\(MN//\)平面\(A_1 ACC_1\),则线段\(MN\)长的最小值为\(\underline{\quad \quad}\). 8 (★★) 已知:如图,平面\(α、β\)满足\(α∥β\),\(A、C∈α\),\(B、D∈β\),\(E∈AB\),\(F∈CD\),\(AC\)与\(BD\)异面,且\(\dfrac{A E}{E B}=\dfrac{C F}{F D}\).求证:\(EF∥β\). ![]() 9 (★★★) 在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(M、N、P\)分别是\(AD_1\)、\(BD\)和\(B_1 C\)的中点,
求证:(1)\(MN∥CD_1\)
(2)\(MN∥\)平面\(CC_1 D_1 D\).
(3)平面\(MNP∥\)平面\(CC_1 D_1 D\).
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