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数学线性规划问题探究 作者简介:周亚锋(1996.4),男,汉族,湖北武汉市人,学生,学校:湖北省实验中学。 摘要:通过对实际生活中有关优化问题的探讨,运用线性规划知识,使问题情景数学化,特别是应用图解法有关可行解的理论,对有关优化问题的数学模型的建立和求解给出了具体方法。 关键词:线性规划;约束条件;目标函数;图解法 利用线性规划知识建立有关优化问题的数学模型,需要寻求决策变量x,在优化问题中,通常有多个决策变量,常用一组不等式来描述即约束条件。在解决最优解问题时,若用数量形式描述即目标函数。对不同的问题,其目标和条件的表现形式可以是各式各样,但在数学看来,都可以概括为:求某一函数在一定约束条件下的最大(最小)值的问题。 一、线性规划问题 1、不等式Ax+By+C>0 (1)当B>0时 y>-A/Bx-C/B表示直线Ax+By+C=0的上部分 (2)当B (3)当B=0时,当A>0时 x>-C/A表示直线x=-C/A的右方部分 当A 2、点在直线同侧还是异侧的判断 令A(x1,y1)B(x2,y2)L:Ax+By+C=0 (1)A,B在L的异侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) (2)A,B在L的同侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0 3、不等式表示的平面区域 例如:|x|+|y|≤2 所表示的平面区域图1 |x|+|y|-2≤0 x+y-2≤0 -x-y-2≤0 x-y-2≤0 -x+y-2≤0 图1 二、建立优化问题的数学模型 下面通过实例看看如何形成约束条件和目标函数。 例:某工厂甲、乙两种产品,计划每天各种产品的生产量不少于15t,已知如表1所示。 12问应如何安排生产才能获得最大利润? 设甲、乙两种产品分别为x(t),y(t),总利润z(万元) 则有约束条件: 9x+4y≤300 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥15 y≥15 目标函数为:zmax=7x+12y 概括上述问题的数学模型就是:求一组非负数x、y,使之满足上述约束条件,且使目标函数取得最大值。 三、用图解法解线性规划问题的方法 建立有关优化问题的数学模型后,下一步就需要求解问题。由于目标函数和约束条件都是线性函数,在二维情况下,可行解的.区域为直线段围成的凸多边形,于是,最优解一定在凸多边形的某个顶点处取得。 解决上述的实际问题: 约束条件: 9x+4y≤300 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥15 y≥15 目标函数为:zmax=7x+12y 由上述约束条件的5个不等式来确定可行解的区域。图2中阴影部分为凸多边形,其中每个点的坐标都是线性规划问题的一个可行解。 求目标函数为:zmax=7x+12y取得最大值。 令z等于某一个常数,如z=366.69,411,417.246,428等分别做直线zmax=7x+12y,这些线都是互相平行的直线,即是目标函数的等值线。当z越来越大时,直线离开原点越来越远,最后,在满足约束条件的所有解中,使z取得最大值的解将在可行域的边界点A(20,24)处得到,即当x=20、y=24时zmax=428(万元)。 由上述可知,用图解法解决实际问题的基本思路是:画出由约束条件所确定的可行域S,然后根据目标函数的梯度方向,在可行域S中选取最优解(x,y),使所求的目标函数有最大(最小)值。 总之,数学知识不单单可用于纸上解答问题,还可以解决实际生活中很多的问题,数学对人类的帮助很大。(作者单位:湖北省实验中学) 【数学线性规划问题探究】相关文章: 1.高中数学说课稿《简单线性规划问题》 2.matlab线性规划 3.探究数学美 4.高考中线性规划问题的解法讨论 5.在高中数学复习课中如何进行问题探究 6.利用学生的生活经验探究数学问题 7.2015考研数学:历年线性规划题考点 8.线性规划理论 -管理资料 |
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