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学习目的:应对博士申请考核中《最优化理论与算法》的考试。 学习材料:《运筹学》第4版 清华大学出版社&《最优化理论与算法》第2版 清华大学出版社&《线性代数》国立交通大学出版社 主要内容:一、无约束非线性规划问题 二、等式约束非线性规划问题 三、不等式约束非线性规划问题 四、12个例子 一、无约束非线性规划问题1.1 函数存在极值的一阶/二阶必要条件 a) 一阶必要条件:函数 b) 二阶必要条件:函数 1.2 备注 a) “可微”、“Hesse矩阵 ”、“半正定”这三个概念在无约束非线性规划问题中的判断较为重要,可直接点击链接进行学习,在此不在赘述。 b) 对应后续例题1。 二、等式约束非线性规划问题 2.1 学习目的 为学习不等式约束非线性规划问题做铺垫。 2.2 等式约束 假设,约束优化问题(1)型为 这里f 与g 都是连续可导的函数,定义Lagrangian函数型为: 其中 对于上式的最优解的必要条件是: 联立上述方程(第一个方程是Lagrange函数的定常方程),可得 3.1 不等式约束问题 假设,约束问题(2)形如:
1、内部解:最优解 2、边界解:最优解 因此,两种情况的必要条件也是不同。对应上述两种情况,可分别转化为两种结果: 1、最优解 2、最优解 3.2 KKT条件的形式 整合上述两种情况,最优解 备注: 例子来源于 《最优化理论与算法》第2版 清华大学出版社。
1、求函数 解: (1)求驻点 (2)求Hesse矩阵 (3)判断矩阵性质(正定/半正定)
求解过程:
令上述两个式子等于0,求得驻点
对 得到Hesse矩阵后,将上述两个驻点代入Hesse矩阵有:
由上, 因此,
2、考虑非线性规划问题
检验 解: (1)改写非线性规划形式 (2)求目标函数和约束条件的梯度(3)判断是否满足Fritz-John条件
求解过程: 上述约束问题可改写为:
将
分别对目标函数和前两个约束条件求一阶偏导,再代入
在点
(未完,csdn的编辑器太难用了)
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