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常微分方程机敏问答[3] #20210622
存在唯一性定理答案
压缩映射答案
解的存在性答案
分岔答案
分岔的应用答案
幂级数解法答案
奇解和包络答案
本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。 万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）
存在唯一性定理
对于没有解析解的微分方程，我们可能有什么考察的角度？叙述皮卡定理中“首先达到左右边界”和“首先达到上下边界”分别对应什么样的解存在闭区间。李氏条件用在了哪里？叙述与初值问题
y
′
=
f
(
x
,
y
)
,
y
(
0
)
=
y
0
y'=f(x,y),y(0)=y_0
y′=f(x,y),y(0)=y0等价的积分方程。怎么把该方程改写成皮卡序列迭代所用到的公式？迭代有意义前提是不会超出上下边界。所以需要证明
y
n
(
x
)
−
y
0
y_n(x)-y_0
yn(x)−y0关于
∣
x
−
x
0
∣
|x-x_0|
∣x−x0∣有什么结论？此处证明函数项级数一致收敛用的是M判别法，其中考察的收敛的数项级数是什么？反设有两个解
u
(
x
)
,
v
(
x
)
u(x),v(x)
u(x),v(x)，证明唯一性时，考察的数项级数和前面的有何异同？证明皮卡定理时，一致收敛用在了什么地方？说明李氏条件是Osgood条件的特例（提示：
∫
0
δ
d
r
/
L
r
=
∞
\int_0^\delta dr/Lr=\infty
∫0δdr/Lr=∞）。用李氏条件或Osgood条件证明唯一性的核心思想是考察什么的积分？不满足李氏条件（从而Osgood条件）下解一定不唯一嘛？皮卡序列一定收敛吗？利用考察6.中积分类似的方法，还能证明
f
f
f关于
y
y
y单调时，解具有什么样的唯一性？回忆解的存在唯一性定理证明过程，如何估计
y
′
=
x
2
−
y
2
,
y
(
−
1
)
=
0
,
∣
x
+
1
∣
≤
1
,
∣
y
∣
≤
1
y'=x^2-y^2,y(-1)=0,|x+1|\le 1,|y|\le 1
y′=x2−y2,y(−1)=0,∣x+1∣≤1,∣y∣≤1的解的存在区间？用类似于皮卡定理证明过程的归纳法，可以得到皮卡序列和真解的一个差上界
∣
y
n
−
y
∗
∣
≤
M
L
L
n
+
1
∣
x
−
x
0
∣
n
+
1
(
n
+
1
)
!
|y_n-y^*|\le\frac ML \frac{L^{n+1}|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}
∣yn−y∗∣≤LM(n+1)!Ln+1∣x−x0∣n+1。由此简要说出如何提高解的精度。
答案
解的结构（线性空间？流形？），数值解，存在唯一性，几何直观等。
[
x
0
−
a
,
x
0
+
a
]
,
[
x
0
−
b
/
M
,
x
0
+
b
/
M
]
(
M
>
m
a
x
x
,
y
∣
f
(
x
,
y
)
∣
)
[x_0-a,x_0+a],[x_0-b/M,x_0+b/M](M>max_{x,y}|f(x,y)|)
[x0−a,x0+a],[x0−b/M,x0+b/M](M>maxx,y∣f(x,y)∣). 李氏常数用途：对迭代不同次数的结果之间（如
y
1
y_1
y1和
y
2
y_2
y2之间），估计对应的
x
x
x处，两个
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)的差。（注：若再积分，即可估计
y
1
y_1
y1与
y
2
y_2
y2的差） 我们直接使用了一些课本上的记号，下同。
ϕ
(
x
)
=
y
0
+
∫
x
0
x
f
(
x
,
ϕ
(
x
)
)
d
x
(
x
在
一
定
范
围
内
)
\phi(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(x,\phi(x))dx(x在一定范围内)
ϕ(x)=y0+∫x0xf(x,ϕ(x))dx(x在一定范围内)，不断“近似认为”右侧
ϕ
=
y
k
\phi=y_k
ϕ=yk，就是迭代公式
ϕ
k
+
1
(
x
)
=
y
0
+
∫
x
0
x
f
(
x
,
ϕ
k
(
x
)
)
d
x
\phi_{k+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,\phi_k(x))dx
ϕk+1(x)=y0+∫x0xf(x,ϕk(x))dx.
∣
y
n
(
x
)
−
y
0
∣
≤
M
∣
x
−
x
0
∣
|y_n(x)-y_0|\le M|x-x_0|
∣yn(x)−y0∣≤M∣x−x0∣.
M
L
L
n
∣
x
−
x
0
∣
n
n
!
\frac ML \frac{L^n|x-x_0|^n}{n!}
LMn!Ln∣x−x0∣n. 证明唯一性：初始是一个常数界
K
K
K，表示两解之差上界。证明迭代收敛：初始是
M
∣
x
−
x
0
∣
M|x-x_0|
M∣x−x0∣. （当然，证明的表达形式很多，言之有理即可）交换积分和极限顺序。略。都要考察
f
(
x
,
y
1
(
x
)
)
−
f
(
x
,
y
2
(
x
)
)
f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))
f(x,y1(x))−f(x,y2(x))积分，从而得到两解之差（的变化量）。不一定，不一定。（如“米勒之例”）单侧。最简单的：直接考虑
m
i
n
{
a
,
b
/
M
}
=
1
/
4
min\{a,b/M\}=1/4
min{a,b/M}=1/4. 即得解得存在区间为
[
−
1.25
,
−
0.75
]
[-1.25,-0.75]
[−1.25,−0.75]或更大。 稍精确：右侧
m
i
n
{
a
,
b
/
M
}
=
1
min\{a,b/M\}=1
min{a,b/M}=1显然。考察左侧，为了使得
a
=
b
/
M
a=b/M
a=b/M，列方程
h
=
1
/
(
1
+
h
)
2
h=1/(1+h)^2
h=1/(1+h)2，即
h
3
+
2
h
2
+
h
−
1
:
=
f
(
h
)
=
0
h^3+2h^2+h-1:=f(h)=0
h3+2h2+h−1:=f(h)=0.
f
f
f在
h
>
0
h>0
h>0递增。
f
(
0.5
)
>
0
,
f
(
0.4
)
<
0
f(0.5)>0,f(0.4)0,f(0.4)
0
h>0
h>0则可以解出整个
r
∈
R
r\in\mathbb R
r∈R上两条函数曲线
x
1
(
r
)
,
x
2
(
r
)
x_1(r),x_2(r)
x1(r),x2(r)，并不存在分岔。提示：全平面
r
O
h
rOh
rOh分为两个区域。 注意：固定
h
h
h考察
r
r
r的分岔，与固定
r
r
r考察
h
h
h的分岔，本质上是两个东西。
s
i
n
x
sinx
sinx，亚临界，鞍-结点。
分岔的应用
阻尼力
−
b
ϕ
˙
-b\dot \phi
−bϕ˙（
ϕ
\phi
ϕ是角度）中
b
b
b单位是什么？负号是什么意思？“环”上运动的珠子中，怎么用无量纲化定义“阻尼很大”？
x
˙
=
s
i
n
x
(
γ
c
o
s
x
−
1
)
\dot x=sinx(\gamma cosx-1)
x˙=sinx(γcosx−1)的分岔怎么考察？“环”上运动的珠子中，导函数图像体现在数轴上是怎样的？（提示：注意阐述周期性）请在二维相图上表示奇异极限。此时线素场如何？对于
ϵ
x
′
′
+
x
′
+
x
=
0
\epsilon x''+x'+x=0
ϵx′′+x′+x=0的奇异极限，怎么在
x
(
t
)
x(t)
x(t)图像上体现？（参考4.）分岔的稳定性与物理中的势如何结合？（提示：构造势函数）
答案
N
⋅
s
N\cdot s
N⋅s. 阻碍运动（力与运动方向相反）略。泰勒展开到三阶（不要忘了
s
i
n
x
sinx
sinx三阶项）提示：“环”结构中，数轴上无穷个点表示实际的一个点。导函数有周期性，故实际上只用在一个周期内考察和画图。注意分岔导致有几种可能的图。提示：先极快到一条曲线附近，然后跟着曲线走。除了一条曲线附近，其余处线素场近似竖直。解曲线上水平。（即：偏离就很快拉回来）导数很快从初值变成某个和初值无关的定值。（注：且这过程其实是”指数的“趋近）
x
′
x'
x′积分取相反数就是势函数。回忆物理中
力
=
−
∇
势
力=-\nabla 势
力=−∇势. 尝试画出势函数图，发现各类分岔的物理意义非常明显。
幂级数解法
对于
y
′
=
x
2
+
y
2
,
y
(
0
)
=
0
y'=x^2+y^2,y(0)=0
y′=x2+y2,y(0)=0分别用皮卡序列和待定系数法求解的幂级数展开到
x
7
x^7
x7项（不用严格说明）什么叫函数在
G
∈
R
2
G\in \mathbb R^2
G∈R2内解析？解释求幂级数形式解中，
C
2
=
1
2
!
y
′
′
(
x
0
)
=
f
x
′
(
x
0
,
y
0
)
+
f
y
′
(
x
0
,
y
0
)
y
′
(
x
0
)
2
=
a
10
+
a
01
C
1
2
C_2=\frac 1{2!} y''(x_0)=\frac{f'_x(x_0,y_0)+f_y'(x_0,y_0)y'(x_0)}{2}=\frac{a_{10}+a_{01}C_{1}}{2}
C2=2!1y′′(x0)=2fx′(x0,y0)+fy′(x0,y0)y′(x0)=2a10+a01C1是什么意思。进行形式运算：对于
y
′
=
r
y
−
y
2
+
a
y
3
+
O
(
y
4
)
y'=ry-y^2+ay^3+O(y^4)
y′=ry−y2+ay3+O(y4)，若
y
=
x
−
b
x
3
y=x-bx^3
y=x−bx3，则代换得（）。上式中对于
r
≠
0
r\ne0
r=0可适当取（）使得
x
′
x'
x′关于
x
x
x表达式三阶项消失。
答案
皮卡：
y
0
=
0
,
y
1
=
x
3
/
3
,
y
2
=
∫
(
x
6
/
9
+
x
2
)
d
x
=
x
3
/
3
+
x
7
/
63
y_0=0,y_1=x^3/3,y_2=\int(x^6/9+x^2)dx=x^3/3+x^7/63
y0=0,y1=x3/3,y2=∫(x6/9+x2)dx=x3/3+x7/63 待定系数：
a
0
=
0
,
a
1
=
a
0
2
=
0
,
2
a
2
=
2
a
0
2
a
1
=
0
,
⋯
a_0=0,a_1=a_0^2=0,2a_2=2a_02a_1=0,\cdots
a0=0,a1=a02=0,2a2=2a02a1=0,⋯这样计算下去。提示：展开式每一项是二元单项式。展开收敛，且等于原函数。提示：
C
i
C_i
Ci是解的（一元）幂级数展开系数，
a
i
j
a_{ij}
aij是
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)的（二元）幂级数展开系数。注意多元微分链式法则。
x
′
−
3
b
x
2
x
′
=
r
x
−
r
b
x
3
−
x
2
+
a
x
3
+
O
(
x
4
)
,
x
′
=
r
x
+
r
x
3
b
x
2
−
r
b
x
3
−
x
2
+
a
x
3
+
O
(
x
4
)
=
r
x
−
x
2
+
(
a
+
2
b
r
)
x
3
+
O
(
x
4
)
x'-3bx^2x'=rx-rbx^3-x^2+ax^3+O(x^4),x'=rx+rx3bx^2-rbx^3-x^2+ax^3+O(x^4)=rx-x^2+(a+2br)x^3+O(x^4)
x′−3bx2x′=rx−rbx3−x2+ax3+O(x4),x′=rx+rx3bx2−rbx3−x2+ax3+O(x4)=rx−x2+(a+2br)x3+O(x4).
b
b
b.
奇解和包络
一阶隐式微分方程相比显式情况，“线素场”怎么样了？对
y
=
x
y
′
−
1
4
y
′
2
y=xy'-\frac 14 y'^2
y=xy′−41y′2两边求微分得到（）为0或（）为0，这是否是解的充要条件？证明上式中“抛物线”解每一点处切线都是解。参数法求隐式方程的解：请解释
d
y
=
y
′
d
x
⇒
g
u
d
u
+
g
v
d
v
=
h
(
u
,
v
)
(
f
u
d
u
+
f
v
d
v
)
dy=y'dx\Rightarrow g_udu+g_vdv=h(u,v)(f_udu+f_vdv)
dy=y′dx⇒gudu+gvdv=h(u,v)(fudu+fvdv)的各字母含义。对于一阶隐式微分方程
F
(
x
,
y
,
y
′
)
=
0
F(x,y,y')=0
F(x,y,y′)=0一个解
y
=
ϕ
(
x
)
y=\phi(x)
y=ϕ(x)和通解
y
=
f
(
x
;
C
)
y=f(x;C)
y=f(x;C)，当（）不属于（），且（）解曲线上任一点出发都得到（）中的一个解，则（）是奇解。奇解唯一嘛？
F
(
x
,
y
,
y
′
)
F(x,y,y')
F(x,y,y′)在区域内连续且对第二、第三个变量可偏导时，奇解上每一点
F
F
F处对第几个变量偏导为0？证明思路：反设一点附近（），则由（）元、（）维情况隐函数存在定理，得到局部有（）元函数
p
(
x
,
y
)
p(x,y)
p(x,y)使得（）为0，这样形式上可以把隐式微分方程化为显式，然后根据（）（人名）定理推出矛盾。由上可以得到奇解的（）条件。为什么
y
′
=
y
y'=\sqrt y
y′=y
不能用5.考察？什么是包络？（一阶连续可微的）通解对应曲线族的包络线是奇解对应的解曲线如何直观解释？给出包络满足的“C-判别式”。为了证明它，我们可以形式上写出包络线上
x
,
y
,
C
x,y,C
x,y,C用
C
C
C表示的参数方程（），由
V
(
x
,
y
,
C
)
V(x,y,C)
V(x,y,C)恒为0，求全微分得（），再根据向量（）和向量
(
V
x
,
V
y
)
(V_x,V_y)
(Vx,Vy)关系即得结果。8.的几何直观解释：设
C
C
C表示高度，每个高度上有一条曲线
V
(
x
,
y
,
C
0
)
V(x,y,C_0)
V(x,y,C0)，如果
V
C
′
≠
0
V_C'\ne0
VC′=0则局部有二元一维反函数（），设
V
V
V一阶连续可微（且
V
x
′
,
V
y
′
V_x',V_y'
Vx′,Vy′不全为0），则局部类似于”山坡的等高线“，不可能有包络。
答案
不一定唯一（不一定良定义）
y
′
′
=
0
y''=0
y′′=0或
x
−
y
′
/
2
=
0
x-y'/2=0
x−y′/2=0. 必要不充分。提示：由上，抛物线满足
y
′
=
2
x
y'=2x
y′=2x，直接写出切线方程，验证是解即可。把
x
,
y
,
y
′
x,y,y'
x,y,y′都用两个参数
u
,
v
u,v
u,v表示，分别为
x
=
f
(
u
,
v
)
,
y
=
g
(
u
,
v
)
,
y
′
=
h
(
u
,
v
)
x=f(u,v),y=g(u,v),y'=h(u,v)
x=f(u,v),y=g(u,v),y′=h(u,v).
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x)，
{
f
(
x
;
C
)
∣
C
取
一
切
可
能
值
}
\{f(x;C)|C取一切可能值\}
{f(x;C)∣C取一切可能值}，
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x)，
{
f
(
x
;
C
)
∣
C
取
一
切
可
能
值
}
\{f(x;C)|C取一切可能值\}
{f(x;C)∣C取一切可能值}，
ϕ
(
x
)
\phi(x)
ϕ(x). 不一定。第三个。
∂
y
′
F
≠
0
\partial_{y'} F\neq0
∂y′F=0，2，1，2，
F
(
x
,
y
,
p
)
F(x,y,p)
F(x,y,p)，皮卡，必要不充分。对第二个变量不可偏导，于是皮卡定理条件不满足。对曲线族
V
(
x
,
y
,
C
)
=
0
V(x,y,C)=0
V(x,y,C)=0和不在其中的曲线
U
(
x
,
y
)
U(x,y)
U(x,y)，
U
U
U上任一点都和某条曲线族
V
V
V中的曲线相切，则
U
(
x
,
y
)
U(x,y)
U(x,y)称为“包络线”。提示：相切表示导数相等，而点点都有切线也呼应了奇解的定义。
V
(
x
,
y
,
C
)
=
V
C
′
(
x
,
y
,
C
)
=
0
V(x,y,C)=V'_C(x,y,C)=0
V(x,y,C)=VC′(x,y,C)=0.
{
x
=
f
(
C
)
y
=
g
(
C
)
C
=
C
\left\{\begin{matrix} x=f(C)\\ y=g(C)\\ C=C \end{matrix}\right.
⎩⎨⎧x=f(C)y=g(C)C=C，
V
x
f
C
+
V
y
g
C
+
V
C
=
0
V_xf_C+V_yg_C+V_C=0
VxfC+VygC+VC=0，
(
f
C
,
g
C
)
(f_C,g_C)
(fC,gC).（下标表示偏导）
C
(
x
,
y
)
C(x,y)
C(x,y).
|