在统计学的数据分析中， 线性回归分析是最常用的分析工具之一。 线性回归以一元线性回归为例，模型如下

\[\begin{align} Y_t =& \beta_0 + \beta_1 X_t + e_t, \ t=1,2,\dots,T \tag{10.1} \end{align}\]

其中自变量\(\{ X_t \}\)为常数列， \(\beta_0, \beta_1\)为未知的系数， \(\{ e_t \}\)为零均值独立同分布随机误差序列， 方差为\(\sigma_e^2\)， 因变量\(\{ Y_t \}\)为随机变量列。 参数\(\beta_0, \beta_1, \sigma_e^2\)可以用最小二乘法估计， 估计量无偏、相合， 系数的估计渐近正态分布。 为了对估计结果做假设检验或者用模型结果做预测， 一般还假设\(\{ e_t \}\)为零均值独立同正态分布序列。

在金融研究中， \(\{ X_t \}\)和\(\{ Y_t \}\)一般都是时间序列， 而且\(\{ e_t \}\)也是时间序列，有序列相关性。 这时， 最小二乘估计不是最有效的估计甚至于可能不相合， 基于\(\{ e_t \}\)独立同正态分布所做的标准误差估计、假设检验和预测都不再成立。

(Cochrane and Orcutt 1949)的文章指出， 当\(\{ e_t \}\)彼此正相关时， 回归系数的标准误差估计偏低， 使得相应的t和F检验统计量的绝对值偏大。 (James Durbin and Watson 1950)和(James Durbin and Watson 1951)给出了一阶自相关的检验。 Durbin-Watson序列自相关检验使用检验统计量 \[ \text{DW} = \frac{\sum_{t=2}^T(\hat e_t - \hat e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^T \hat e_t^2} \approx 2(1 - \hat\rho_1) \] 其中\(\hat e_t\)是回归残差， 当无序列相关时DW统计量接近于2。 此统计量只用到一阶自相关。

当\(\{ e_t \}\)是平稳可逆ARMA序列时， 可以将线性回归模型与平稳可逆ARMA序列同时估计， 可以得到需要标准误差估计、假设检验和预测。 R的arima()函数提供了一个xreg=用来引入回归自变量。

如果不关心\(\{ e_t \}\)的具体模型， 而只关心对回归系数的SE的正确估计以及假设检验的正确性， 可以仅假设\(\{ e_t \}\)的协方差结构而不考虑\(\{ e_t \}\)的建模。 这样的方法在混合线性模型中使用。

下面举例说明。 考虑美国国债一年期与三年期利率， 数据为周数据，从1962-01-05到2009-10-04，共2467个观测。 记一年期利率序列为\(\{ x_{1t} \}\)， 三年期利率序列为\(\{ x_{3t} \}\)。

先读入数据：