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线性变换不变子空间直和分解定理注

线性变换不变子空间直和分解定理是线性代数中一个重要的定

理，

它可以成功地把一个线性变换分解为合理的子空间和线性一致的

变换。它的实际应用非常广泛，从工程设计到算法设计，从数学建模

到社会研究，都用到了这个定理。

该定理要求一个

n

维向量空间

V

中有一些不变子空间

U1, U2, 

U3, ... Un

，且

Ui 

之间彼此线性独立，满足

UiV

。此外，定理要求

存在一个

n

维到

n

维的线性变换

A

；映射

A

：

V

→

V

。下面对该定理具

体进行描述。

首先，该定理要求存在

n

个不变子空间

U1, U2, U3, ... Un

，

且

Ui 

之间彼此线性独立，满足

UiV

。其中，

Ui

表示一个不变的子空

间，

V

表示一个

n

维的向量空间，即

Ui+Uj = V

。

其次，定理还要求存在一个

n

维到

n

维的线性变换

A

；映射

A

：

V

→

V

，即

A(v) = Av

，其中

v

∈

V

，

A

∈

Rn

×

n

。

最后，定理要求存在一组线性变换

B1, B2, B3, ... Bn

，其中

Bi

：

Vi

→

Vi

，使得对于任意的

v

∈

V

，都有

A(v) = B1(v) + B2(v) + 

B3(v)+ ... + Bn(v) +v

。

此外，定理还要求不变子空间

U1, U2, U3, ... Un 

之间要线性

独立，即任意线性组合

c1U1+c2U2 

+ 

c3U3 + ... 

cnUn = 

0

，则有

ci= 

0

，

i=1,2,3,...n

。

最后，

定理要求满足二者之后，

线性变换

A

才能成功分解为线性

一致的变换

B1, 

B2, 

B3, 

... 

Bn

，

即

A(v) 

= 

B1(v) 

+ 

B2(v) 

+ 

B3(v)+ 

...