线性变换的本质

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线性变换的本质

2023-06-09 17:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

来源：b站课程，线性代数的本质【直观详解】线性代数的本质 | Go Further | Stay Hungry, Stay Foolish (charlesliuyx.github.io)

使用基来理解线性变换矩阵乘法

理解旋转矩阵

如上图，由X2Y2--->X1Y1的旋转矩阵为：

$A= \left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ 按列理解，该矩阵表示了坐标系2的一组基：（X2，Y2，Z2），即 $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ 在坐标系1中的表示，例如，坐标系2中的X2 = $\left(\begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ 在坐标系1中的表示为 $\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{array}\right)$ ，仍然是单位向量，方向改变，模长不变--->这就是旋转变换。照此理解即可写出旋转矩阵A。

若X2Y2--->X1Y1的旋转矩阵为A，则A可以理解为：构成X2Y2空间的一组基在X1Y1空间中的表示其实质上代表了同一个向量如何将其在X2Y2空间中的表示（表示：即一个线性组合）转化到X1Y1空间中的表示

注意

为什么得到基的表示A之后，就能通过矩阵乘法得到X2Y2空间中任意向量u2在X1Y1空间中的表示u1呢？（u1=A*u2）线性变换的齐次性和叠加性

设X2Y2空间的一组基为(X2，Y2，Z2) 设X1Y1空间的一组基为(X1，Y1，Z1) 这两组基的表示基于同一组基（相当于世界坐标系）

则对于u2，有 $a*X2+b*Y2+c*Z2 = (X2，Y2，Z2)* \left(\begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \end{array}\right) = (X2，Y2，Z2)*u2$

对于u1，有 $d*X1+e*Y1+f*Z1 = (X1，Y1，Z1)* \left(\begin{array}{ccc} d \\ e \\ f \end{array}\right) = (X1，Y1，Z1)*u1$

注意u1，u2是同一个向量在不同线性空间中的表示故 $(X1，Y1，Z1)*u1=(X2，Y2，Z2)*u2$ （世界坐标系下的表示相同）

若基(X2，Y2，Z2)在X1Y1空间中的表示为A，即 $(X2，Y2，Z2) = (X1，Y1，Z1)*A$ 那么 $(X2，Y2，Z2)*u2 = (X1，Y1，Z1)*A*u2= (X1，Y1，Z1)*u1$ 故 $A*u2 = u1$

旋转矩阵为什么需要三维？

不妨说为什么需要第三行和第三列，使用第三列显然因为后续可以引入平移变换，使用第三行则是因为可以构成齐次的形式平移只看原点的相对位置（第三列）（原坐标系原点相对于转换到的坐标系原点的位置）

使用基和线性空间的方式理解线性方程组解的情况

定义：非齐次线性方程组 $Ax = b$ ，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵

按照线性空间的视角来看,A是对向量x进行线性变换的一组基，设系数矩阵A的秩为p，那么意味着A会将线性空间变换至p维

秩

系数矩阵的秩表示基张成空间的维数x1 增广矩阵的秩表示基和目标向量b张成空间的维数x2 ①x1 x1 = x2时候，类似二维空间的一组基（A）进行三维线性组合（x）用于表示二维向量（b），显然这种组合是不唯一的（第三维度可为任意数），且有无穷多种可能。注意理解，虽然此处的x和b是维度相同的且都为n，但这里二维空间（二维向量b）指的是x1（x2）的大小。线性组合x是三维的，但正是因为系数矩阵A（基）的秩为二维，所以其被投影至二维，其第三维也就在此作用下可为任意数

矩阵知识：线性方程组解的情况_线性方程组的解的三种情况

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