优化模型主要有线性规划、非线性规划、动态规划和整数规划。而指派问题是整数规划中一类重要的问题： 有 n n n项任务，由 n n n个人来完成，每个人只能做一件，第 i i i个人完成第 j j j项任务要 c i j c_{ij} cij​小时，如何合理安排时间才能使总用时最小？

我们引入 0 - 1变量 x i j x_{ij} xij​

x i j = { 1 , 表示指派第i个人完成第j项工作 0 , 表示不指派第i个人完成第j项工作 x_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{表示指派第i个人完成第j项工作} \\ 0, & \text{表示不指派第i个人完成第j项工作} \end{cases} xij​={1,0,​表示指派第i个人完成第j项工作表示不指派第i个人完成第j项工作​ 用x_{ij}表示第i个人完成第j项工作所需要的资源数，称之为价值系数。因此指派问题的数学模型是: m i n   z = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n c i j x i j min \ z = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_{ij} x_{ij} min z=i=1∑n​j=1∑n​cij​xij​

s . t = { ∑ i = 1 n x i j = 1 ,       i = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n ∑ j = 1 n x i j = 1 ,       j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n x i j = 0 或 1 ,       i , j = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n s.t = \begin{cases} \sum_{i=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ i=1,2,···,n\\ \sum_{j=1}^n x_{ij}=1,\ \ \ \ \ j=1,2,···,n\\ x_{ij}=0或1,\ \ \ \ \ i,j = 1,2,···,n \end{cases} s.t=⎩⎪⎨⎪⎧​∑i=1n​xij​=1,     i=1,2,⋅⋅⋅,n∑j=1n​xij​=1,     j=1,2,⋅⋅⋅,nxij​=0或1,     i,j=1,2,⋅⋅⋅,n​

指派问题可以看作0 - 1整数规划问题来求解，也可以用更简单的匈牙利算法来求解。

我们先给出这样一个例题，图中数值为第i个人要完成第j个任务需要消耗的资源数 x i j x_{ij} xij​，求解:如何安排才能使的总资源消耗最少。

编程思路： 根据规划问题的要求： 每个人只能完成一个任务，每个任务只能由一个人完成。也正如第三部分中的第二个式子和第三个式子，当该4x4矩阵表示 x i j x_{ij} xij​，即指派第i个人完成第j个任务时，此时每一行相加的值和为1，每一列相加的值和为1。（ x i j x_{ij} xij​的值只能为0或者1）根据该思路，我们可以来进行Matlab变成。

其中Aeq和beq代表的是等式约束，Aeq的前四行分别表示 4x4的 x i j x_{ij} xij​矩阵中四行中每行相加的值为1；Aeq的后四行分别表示4x4的 x i j x_{ij} xij​矩阵找那个的四列中每列相加的值为1。（实际上它就是将4x4的矩阵按照行进行展开成了1x16的矩阵）。 然后再调用linprog()线性规划的函数，输入相应参数进行求解。求解所得的x是16x1的矩阵，我们为了便于观察，最后将该矩阵转换成4x4的矩阵。