MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space |
您所在的位置：网站首页 › 线性代数nul是什么意思 › MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space |
|
课程简介
18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。 课程笔记 vector space首先给出vector space的定义：组成元素为 n 维向量，且对加减和标量乘法封闭。即有 ∀v⃗ ∈S,cv⃗ ∈S∀v⃗ ,w⃗ ∈S,v⃗ +w⃗ ∈S 典型的vector space如 R3 ，即所有三维实数向量所组成的集合。 subspace定义：位于vector space内部，且对加减和标量乘法封闭的向量空间。 几个例子：如三维空间中的平面、线以及原点 性质：、 必须包含零点（/原点），因为 0v⃗ =0⃗ 必须对加减和标量乘法封闭 subspace的交集仍然是subspace T=S1∩S2∀v⃗ 1∈T,v⃗ 2∈T,v⃗ 1+v⃗ 2∈S1∧v⃗ 1+v⃗ 2∈S2⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈T∀v⃗ ∈T,cv⃗ ∈S1∧cv⃗ ∈S2⇒cv⃗ ∈Tsubspace的并集不一定是subspace（通常不是） column space涉及到 Ax=b 何时有解的问题，那结论是 b 在A的column space C(A) 里的时候有解。 具体地， A 可以表示为列向量的组合Am×n=[a1,a2,⋯,an]，而 Ax 为 A 的列向量的线性组合。所有的线性组合的集合共同构造了一个Rm内的subspace，即为 A 的column space，使用C(A)表示。 column space是space的验证： ∀v⃗ ∈C(A),cv⃗ =cAx⃗ =Acx⃗ ∈C(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈C(A),v⃗ 1+v⃗ 2=Ax⃗ 1+Ax⃗ 2=A(x⃗ 1+x⃗ 2)∈C(A) 所以 C(A) 是所有 Ax 的所有可能输出的集合， Ax=b 有解的充要条件是 b∈C(A) 。C(A) 的性质取决于 A ，具体地，取决于A中有多少线性无关（independent）列向量。线性无关的概念后面会展开，这里大概的意思就是如果删掉某个列向量， C(A) 不变就认为其与其他列向量线性相关。或者说，某个列向量可以表示为其他列向量的线性组合，那么这个列向量与其他列向量线性相关。因为其不提供更多的信息。 null space刚刚探讨了 Ax=b 是否有解的问题，这里探讨 Ax=b 解集的性质（/形状）。 首先定义null space： N(A)={x:Ax=0} ，即所有满足 Ax=0 的 x 的集合。其构造了Rn内的一个subspace，使用 N(A) 表示。 验证null space是space： ∀v⃗ ∈N(A),Acv⃗ =cAv⃗ =0⇒cv⃗ ∈N(A)∀v⃗ 1,v⃗ 2∈N(A),A(v⃗ 1+v⃗ 2)=0⇒v⃗ 1+v⃗ 2∈N(A) N(A) 必含有零点，同时其大小取决于 A 的性质，仍然是和A中线性相关的列向量的数目有关。笔者的小思考： N(A) 很好的定义了 Ax=b 的解集形状，而不仅仅是 Ax=0 的解集形状。因为设 Ax1=b ，则有 A(x1+v)=b,∀v∈N(A) 。同时只要找到一个 Ax1=b ，就可以找到所有的 Ax=b ，因为 A(x−x1)=0 ，所以 x−x1∈N(A) ，进而 {x:Ax=b}={x1+v:v∈N(A)} 。 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
| CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |