定理1 正项级数 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 收敛的充分必要条件是其部分和数列 \left\{ S_{n} \right\} 有界.

定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 和 \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} .如果从第 N 项开始有不等式 a_{n}\leq b_{n} ，

那么：

(1) 若 \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} 收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 也收敛；

(2) 若 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 发散，则 \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} 也发散.

定理3（比较判别法的极限形式） 设 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 和 \sum_{n=1}^{\infty}{b_{n}} 是两个正项级数.如果 \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=l

那么：

（1）若 00(n=1,2,\cdots)">a_{n}>0(n=1,2,\cdots) .

（1）如果 \limsup_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=q0(n=1,2,\cdots)">a_{n}>0(n=1,2,\cdots) .

（1）如果存在 r>1 ，使得当 n>n_0 时，有 n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\geq r ，那么级数 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 收敛.

（2）如果对充分大的 n ，有 n(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1)\leq1 ，那么级数 \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} 发散.

定理11 设正数列 \left\{a_n\right\} 满足 \lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=l ，或 \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{l}{n}+o(\frac{1}{n})(n\rightarrow\infty) .

那么， l>1 时， \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} 收敛；当 l\varepsilon>0 ，存在正整数 N ，当 n>N 时， \left| a_{n+1}+\cdots+a_{n+p} \right|