在上一篇结尾，大桥君抛出了一个问题：为什么有的国家发展的快，有的国家发展的慢呢？其实答案不难从生产函数中看出。在我们了解的生产函数中，一共有三个变量A、K和L。其中，在生产函数里是指不包括资本和劳动量等外来输入的其他所有生产要素，比如生产技术，因此我们可以给它取一个新的名字，叫做全要素生产率（total factor of productivity TFP）。K是资本，L是劳动量。虽然在之前的生产函数中，我们假设是一个已知的参数，但是在现实情况下，A是一个变量。因此，国家的发展跟A,K和L有着密切的关系。在这一篇中，我们就先来探索一下资本的积累能不能解释国家发展的不同。同时，资本的积累是否能成为一个国家持续发展的动力。

动态模型

让我们先回到大桥君的豆沙面包店。因为大桥君治理有方，豆沙面包店在每年都会有盈利。为了扩大生产，相应消费者的个性化需求，解决消费者不同口味的需求与面包店生产力不足的矛盾，大桥君决定将所有的盈利投入购买自助揉面机、自动制作豆沙面包机和自动化烤箱，通过从人工转向人工智能的调整，豆沙面包店逐年盈利，并且大桥君将这些盈利继续购买新的机器。到此为止，我们会发现，假设大桥君最初的盈利是P0，用这些盈利购入的资本是K0。买入的机器K0参与到了第二年的盈利P1，并且大桥君购买了更多的机器K1。第三年，K0和K1都参与了盈利……长此以往，大桥君就实现了资本的积累。这样的过程，就给生产模型引入了动态变化。这就是索罗模型（Solow model）探究的内容。

索罗模型

首先，让我们来回忆一下柯布—道格拉斯生产函数

因为在索罗模型里，我们研究的动态的过程，因此我们需要通过

给Y加一个角标进行辨认。然后，再让我们回忆一下最早了解的两期模型。里面提到过，人们赚到钱之后，不是消费就是存款，因此，我们可以写出一个资源约束等式

根据大桥君的豆沙面包店的故事，我们可以看出，资本的积累

不过，回想我们之前用收入法计算GDP的公式中，我们要给机器付工资，也就是机器的折旧。因此，在下一阶段的资本积累中，我们需要减掉上一阶段的资本折旧才是最终积累的资本也就是

到这里，我们可以先暂停一下。让我们先来看看资本积累的规律。我们假设大桥君的资本折旧率为0.1，初始资本是1000元，每年的投资固定为200元。

我们会发现，在投资一定的情况下，资本实在不断增加的，但是增加的量越来越少。如果大桥君重复这个过程无数次，那么最后资本的变化量将无限趋近于0。因为随着我们积累更多的资本，资本折旧也在不断增加。资本折旧就是资本积累里的反作用力，如果我们不加大投资，在某一点上，我们就无法积累更多的资本。讨论完K，我们再来看L。因为索罗模型里我们讨论资本积累对于生产的影响，因此我们假设

是一个没有弹性的量。最后，我们假设我们用我们全部的存款都进行投资，购买资本，因此

又因为存款占我们收入的一定比例，我们规定

为存款率，因此

最后，我们就得出了五个等式和五个未知数：