本文对于数论的开头部分做一个简介。

设 ，。如果 ，使得 ，那么就说 可被 整除，记作 ； 不被 整除记作 。

整除的性质：

若 ，则称 是 的 倍数， 是 的 约数。

是所有非 整数的倍数。对于整数 ， 的约数只有有限个。

平凡约数（平凡因数）：对于整数 ，、 是 的平凡约数。当 时， 只有两个平凡约数。

对于整数 ， 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。

约数的性质：

在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。

设 为两个给定的整数，。设 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 和 ，满足 。

无论整数 取何值， 统称为余数。 等价于 。

一般情况下， 取 ，此时等式 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 称为最小非负余数。

余数往往还有两种常见取法：

带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质：

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，见 最大公约数。

一些作者认为 和 的最大公约数无定义，其余作者一般将其视为 。C++ STL 的实现中采用后者，即认为 和 的最大公约数为 4。

最大公约数有如下性质：

最大公约数还有如下与互素相关的性质：

最小公倍数有如下性质：

最大公约数和最小公倍数可以组合出很多奇妙的等式，如：

这些性质均可通过定义或 唯一分解定理 证明，其中使用唯一分解定理的证明更容易理解。

若 ，则称 和 互素（既约）。

若 ，则称 互素（既约）。

多个整数互素，不一定两两互素。例如 、 和 互素，但是任意两个都不互素。

互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout's identity）。见 裴蜀定理。

辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。见 最大公约数。

关于素数的算法见 素数。

设整数 。如果 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 为 素数（不可约数）。

若整数 且 不是素数，则称 为 合数。

和 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

设 是素数，，那么 和 至少有一个成立。

算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

设正整数 ，那么必有表示：

其中 是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

称为正整数 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

设整数 。若 ，称 为 模数（模）， 同余于 模 ， 是 对模 的 剩余。记作 。

否则， 不同余于 模 ， 不是 对模 的剩余。记作 。

这样的等式，称为模 的同余式，简称 同余式。

根据整除的性质，上述同余式也等价于 。

如果没有特别说明，模数总是正整数。

式中的 是 对模 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 的范围，相应的有 对模 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

同余的性质：

还有性质是乘法逆元。见 乘法逆元。

在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C992和 C++113标准版本起，规定 商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

为方便讨论，对集合 和元素 ，我们引入如下记号：

对非零整数 ，把全体整数分成 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 均同余，我们把这 个集合均称为模 的 同余类 或 剩余类。用 表示含有整数 的模 的同余类。

不难证明对任意非零整数 ，上述划分方案一定存在且唯一。

由同余类的定义可知：

注意到同余是等价关系，所以同余类即为同余关系的等价类。

我们把模 的同余类全体构成的集合记为 ，即

不难发现：

由 商群 的定义可知 ，所以有时我们也会用 表示 。

由 抽屉原理 可知：

由此我们给出完全剩余系的定义：

对 个整数 ，若对任意的数 ，有且仅有一个数 使得 与 模 同余，则称这 个整数 为模 的 完全剩余系，简称 剩余系。

我们还可以定义模 的：

若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系。

我们注意到如下命题成立：

考虑同余类 ，若 ，则该同余类的所有元素均与 互质，这说明我们也许可以通过类似方式得知所有与 互质的整数构成的集合的结构。

对同余类 ，若 ，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类。

我们把模 既约剩余类的个数记作 ，称其为 Euler 函数。

我们把模 的既约同余类全体构成的集合记为 ，即

对于任意的整数 和与 互质的整数 ，，但是 不一定为 。这一点与 不同。

由 抽屉原理 可知：

由此我们给出既约剩余系的定义：

对 个整数 ，若 ，且对任意满足 的数 ，有且仅有一个数 使得 与 模 同余，则称这 个整数 为模 的 既约剩余系、缩剩余系 或 简化剩余系。

类似地，我们也可以定义最小非负既约剩余系等概念。

若无特殊说明，一般我们只用最小非负既约剩余系。

对正整数 ，我们有如下定理：

若 ，令 分别为模 的 完全 剩余系，则对任意与 互质的 均有：

为模 的 完全 剩余系。进而，若 ，令 分别为模 的 完全 剩余系，则：

为模 的 完全 剩余系。

只需证明对任意满足 的 ，，都有：

实际上，由 ，我们有 ，进而 ，由 可知 ，进而有 。

进一步，，则 ，即 。

因此，

若 ，令 分别为模 的 既约 剩余系，则：

为模 的 既约 剩余系。

该定理等价于证明 Euler 函数为 积性函数。

令 分别为模 的完全剩余系，我们已经证明了

为模 的完全剩余系。令 ，显然 为模 的既约剩余系，所以我们只需证明 即可。

显然 。

任取 ，其中 且 ，有 ，由 可得

因此可得 且 ，即 。

任取 ，其中 且 ，有 且 ，由 可得

因此可得 ，即 。

综上所述，

为模 的 既约 剩余系。

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

若函数 满足 且 都有 ，则 为 积性函数。

若函数 满足 且 都有 ，则 为 完全积性函数。

若 和 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

设

若 为积性函数，则有 。

若 为完全积性函数，则有 。

此处加性函数指数论上的加性函数 (Additive function)。对于加性函数 ，当整数 互质时，均有 。 应与代数中的加性函数 (Additive map) 区分。

Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1? ↩

Arithmetic operators (C) - cppreference.com ↩

Arithmetic operators (C++) - cppreference.com ↩

std::gcd - cppreference.com ↩