算数平均数、调和平均数、几何平均数的计算方法与应用场合

总的来说：几种平均数的应用的取决于场景

一、定义

1、算数平均数：又称均值，是统计学中最基本，最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

设一组数据为X1,X2,...,Xn,简单地算术平均数的计算公式为：

加权算术平均：主要用于处理经分组整理数据。

设原始数据被分成K组，各组的组中值为X1,X2,...Xk，各组的频数分别为f1,f2,...fk，加权算术平均数的计算公式为：

2、调和平均数：又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算数平均数的倒数。分为数学调和平均数（数值倒数的平均数的倒数）和统计调和平均数（计算结果与加权算术平均数完全相等）。

简单调和平均数是算术平均数的变形。

加权调和平均数：

3、几何平均数：几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。根据所拿掌握资料的形式不同，其分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

简单几何平均数：

加权几何平均数：

二、应用

1.算数平均数：凡是变量值的总和等于总体标志值总量的社会经济现象的平均数， 均可采用算术平均数的方法，但其也有缺陷容易受到极端值的影响，进而关注数据分布，并用中位数、众数等其他位置均值统计量进行综合分析。

例：

通常来说，如果统计分布是对称的，且最高点在中间，那么均值、中位数和众数相等。

如果统计分布右偏，即大部分集中在左边，右边拖着一个长长的尾巴——通常像楼价、国民收入等等都属于此类分布，则一般来说均值＞中位数＞众数，这时只看均值可能会比较片面，需要三个参数全看，以帮助你对数据进而对研究对象有全面地认识。

有右偏肯定就有左偏分布，这时均值＜中位数＜众数。

在这个例子里，分布是这样的：

显然这是一个右偏的分布，众数100＜中位数200＜平均值300。

2.几何平均数：凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的社会经济现象， 都可以适应几何平均数计算平均比率或平均速度；有些对象的呈现指数型变化，群体内的数字变化巨大，如果拿算术平均数对比，少数样本可能会影响了总体结果，也通常会使用几何平均数。

例1：例： 某机械厂有毛坯车间、 粗加工车间、 精加工车间、 装配车间四个流水作业的车间， 本月份第一车间制品合格率为 95%， 第二车间合格率为 92%， 第三车间合格率为 90%， 第四车间合格率为85%， 求平均产品合格率。 分析： 对于这个问题不能采用算术平均数或调的平均数计算， 因为各车间产品合格率总和并不等于全厂总合格率，第二车间的合格率是在第一车间的基础上计算的， 第三车间的合格率是在第一、第二车间制品全部合格的基础上计算的，如此等等， 全厂产品的总合格率等于各车间合格率的连乘积， 所以要采用几何平均数计算平均车间合格率。

例2：

中印GDP的对比

如果按算术平均数，1960年到2017年58年间中国GDP是印度的3.6倍，而实际上直到1994年中国才第一次GDP是印度的两倍，因为后面年份的GDP巨大，以至于前面很多年在平均值里可以忽略不计。

如果按照几何平均数，1960年到2017年58年间中国GDP是印度的1.8倍。

这相当于是把GDP取了对数后的算术平均。

3.调和平均数

经典的例子是以不同的速度通过相同的距离。

考虑一次去便利店并返回的行程：

整个行程的平均速度是多少？

如果不假思索地应用算术平均数的话，结果是20 mph（(30+10)/2）。

但是这么算不对。因为去程速度更快，所以你更快地完成了去程的5英里，整个行程中以30 mph的速度行驶的时间更少，以10 mph的速度行驶的时间更多，所以整个行程期间你的平均速度不会是30 mph和10 mph的中点，而应该更接近10 mph。

为了正确地应用算术平均数，我们需要判定以每种速率行驶所花的时间，然后以适当的权重加权算术平均数的计算：

所以，我们看到，真正的平均速度是15 mph，比使用未加权的算术平均数计算所得低了5 mph（或者25%）。

那如果用调和平均数呢？

2 / (1/30 + 1/10) = 15

一下子得到了真正的行程平均速度，自动根据在每个方向上使用的时间进行调整。

需要注意的是，这里之所以可以直接应用调和平均数，是因为去程和返程的距离是相等的，如果两者距离不等（比如去程和返程走了不同路线），那么需要应用加权调和平均数。

在财经上，加权调和平均数可以用于计算组合投资多个股票的市盈率（P/E）。

当然调和平均数还有很多应用场景，比如统计学上的F1评分，就是准确率和召回的调和平均数。

因为是导数，所以是指数，从指数分布的变化率来看，调和平均更重视较小值：较小值的变化对调和平均的影响大于较大值的变化。