一.什么是算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法具有五个基本特征：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

输入：

算法具有零个或者多个输入。

尽管对于绝大多数算法来说，输入参数都是有必要的。但是有些时候，想打印“ I love fish."，就不需要啥参数了。

输出：

算法至少有一个或者多个输出。

算法是一定要输出的，输出的形式可以实打印形式输出，也可以是返回一个值或多个值等。

有穷性：

指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤都在可接受的时间内完成。

确定性：

算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。

算法的每个步骤都应该被精确定义而无歧义。

可行性：

算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

二.算法设计的要求

1.正确性：

算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

大致分为以下四个层次：

（1）算法程序没有语法错误。

（2）算法程序对于合法输入能够产生满足要求的输出。

（3）算法程序对于非法输入能够产生满足规格的说明。

（4）算法程序对于故意刁难的测试输入都有能满足要求的输出结果。

2.可读性：

算法设计另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

3.健壮性：

当输入数据不合法时，算法也能做出想过处理，而不是产生异常、崩溃或莫名其妙的结果。

4.时间效率高和存储量低

三.算法效率的度量方法

A.事后统计方法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

这种方法的缺陷：必须依据算法实现编制好测试程序，通常需要花费大量时间和精力；不同的测试环境差别不是一般的大。

B.事情分析估算方法：在计算机程序编写前，依据统计方法对算法进行估算。

经过总结，发现高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

1.算法采用的策略、方案。

2.编译产生的代码质量。

3.问题的输入规模。

4.机器执行指令的速度。

由此可见，抛开与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。（所谓的输入规模是指输入量的多少）

函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

判断算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高项）的阶数。

note:判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的，很容易以偏概全。

四、算法时间复杂度

算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。（关键需要知道执行次数==时间）

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶方法：

攻略如下：

（1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

（3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的最后结果就是大O阶。

常见的时间复杂度：

最坏情况与平均情况

最坏情况：查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置，那么时间复杂度为O(n)。

平均运行时间是期望的运行时间。

最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

算法的空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记做:S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

通常，我们用“时间复杂度”来指运行时间的需求，用“空间复杂度”指空间需求。

当直接要让我们求“复杂度”时，通常指的是时间复杂度。