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单位圆
"单位圆" 是半径为 1 的圆。 单位圆非常简单,所以用来学习长度和角很合适。 圆心放在图上 x轴和 y轴的交点。 正弦、余弦和正切 因为半径是 1,我们可以直接测量正弦、余弦和正切的值。 如果角 θ是 0°呢? cos 0° = 1、sin 0° = 0、tan 0° = 0 如果角 θ是 90°呢? cos 90° = 0、sin 90° = 1、tan 90°是未定义 自己来试试!自己来试试!移动鼠标来看不同的角(以弧度 或 角度为单位)对正弦、余弦和正切的影响 在笛卡尔坐标里, "角边" 可以是正数或负数,因此,正弦、余弦和正切也可以是正数或负数.
也去玩玩互动单位圆。 勾股 勾股定理说明:在直角三角形里,斜边的平方等于另外两边的平方的和: x2 + y2 = 12 但 12 是 1,所以: x2 + y2 = 1 (单位圆的方程) 因为 x=cos 和 y=sin,我们得到: (cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1 一个有用的 "恒等式" 重要的角:30°、45° 和 60°你应该尝试牢记这些角度的正弦、余弦和正切的值:30°、45° 和 60°。 要牢记东西可能有点辛苦,但这会对你在考试或需要做快速运算的时候很有帮助。 牢记这些! 角度 正弦 余弦 正切=正弦/余弦 30° 1 √3 = √3 3 45° 1 60° √3 怎样去记?这样想: "1、2、3" : sin(30°) = √1 = 1 (because √1 = 1) 2 2 sin(45°) = √2 2 sin(60°) = √3 2
余弦(cos)就是 "3, 2, 1" cos(30°) = √3 2 cos(45°) = √2 2 cos(60°) = √1 = 1 (because √1 = 1) 2 2 只要记住三个数 只要记住三个数就够了: 1 , √2 and √3 2 2 2因为余弦和正弦都是这三个数: 正切呢?正切 = 正弦/余弦,所以我们可以这样做: tan(30°) = sin(30°) = 1/2 = 1 cos(30°) √3/2 √3 但写 1/√3 可能会扣分 (见有理分母),所以应该这样写:√3/3 tan(45°) = sin(45°) = √2/2 = 1 cos(45°) √2/2 tan(60°) = sin(60°) = √3/2 = √3 cos(60°) 1/2 画个草图画个草图也可以帮你记住 30° 和 60°: 画一个边长为 2的三角形把三角形一分为二。勾股定理说新的边的长度是 √3 12 + (√3)2 = 22 1 + 3 = 4 然后用正弦、余弦和正切的定义来记 例子:sin(30°)正弦: 正弦是对边除以斜边 sin(30°) = 对边 斜边 = 1 2全圆 要知道全圆里的正弦和余弦的值,我们需要覆盖每一个象限,并且根据笛卡尔坐标加上正确的正负号:
注意我们先写余弦(cos),再写正弦(sin),所以就是(余弦,正弦): 保存为PDF格式文件 例子:cos(330°) 是多少??画个草图,我们可以看到答案是 "长" 的值: √3 2 这是同一个单位圆,不过角的单位是弧度。 例子:sin(7π/6) 是多少?
想: "7π/6 = π + π/6",然后画草图。 我们可以看到答案是负数,是 "短" 的值:−½
脚注:这些值是怎样计算出来的? 我们可以用方程 x2 + y2 = 1 来求 x 和 y 的长度(当半径等于 1 时,答案是 cos 和 sin): 45度45度:x 与 y 相等,所以 y=x: x2 + x2 = 1 2x2 = 1 x2 = ½ x = y = √(½) 60度把一个等边三角形 (所有边等长,所有角是 60°)在中间一分为二。 "x" 边变成 ½, "y" 边是: (½)2 + y2 = 1 ¼ + y2 = 1 y2 = 1-¼ = ¾ y = √(¾) 30度30°就是 x 和 y 对调了的 60°,所以 x = √(¾),y = ½ 并且: √(½) 也等于: √(¾) 也等于:结果是(和上面一样): 角度 正弦 余弦 正切=正弦/余弦 30° 1 √3 = √3 3 45° 1 60° √3圆 互动单位圆 四象限里的正弦、余弦和正切 三角索引 |
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