霍夫曼编码是一种无损的统计编码方法，利用信息符号概率分布特性来改编字长进行编码。适用于多元独立信源。霍夫曼编码对于出现概率大的信息符号用字长小的符号表示，对于出现概率小的信息用字长大的符号代替。如果码字长严格按照所对应符号出现的概率大小逆序排列，则编码结果的平均字长一定小于其他排列形式。

霍夫曼编码的具体步骤如下：

1）将信源符号的概率按减小的顺序排队。

2）把两个最小的概率相加，并继续这一步骤，始终将较高的概率分支放在右边，直到最后变成概率。

3）画出由概率１处到每个信源符号的路径，顺序记下沿路径的０和１，所得就是该符号的霍夫曼码字。

4）将每对组合的左边一个指定为0，右边一个指定为1（或相反）。

对称加密算法 是应用较早的加密算法，又称为 共享密钥加密算法。在 对称加密算法 中，使用的密钥只有一个，发送 和 接收 双方都使用这个密钥对数据进行 加密 和 解密。这就要求加密和解密方事先都必须知道加密的密钥。

数据加密过程：在对称加密算法中，数据发送方 将 明文 (原始数据) 和 加密密钥 一起经过特殊 加密处理，生成复杂的 加密密文 进行发送。

数据解密过程：数据接收方 收到密文后，若想读取原数据，则需要使用 加密使用的密钥 及相同算法的 逆算法 对加密的密文进行解密，才能使其恢复成 可读明文。

编码过程

​ 在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从F（x）的因子中选一个（n-k）次多项式作为g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。 据上述原理可以得到一个较简单的系统：设要产生（n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，循环码编码方法，则其次数必小于k，而m(x)的次数必小于n，用m(x)除以g(x)，可得余数r(x)，r(x)的次数必小于（n-k），将r(x)加到信息位后作监督位，就得到了系统循环码。下面就将以上各步处理加以解释。 （1）用x的乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个“0”。例如，信息码为110，而希望的到得系统循环码多项式应当是A(x) = \(x^n\)·m(x) + r(x)。 （2）求r(x)。由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，因此，用·m(x)除以g(x)，就得到商Q(x)和余式r(x)，这样就得到了r(x)。 （3）编码输出系统循环码多项式A(x)为：这时的编码输出为：1100101。 上述三步编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现，这里的除法电路采用一些移位寄存器和模2加法器来构成。下面将以（7,4）循环码为例，来说明其具体实现过程。设该（7,4）循环码的生成多项式为：g(x)= \(x^3\)+\(x\)+1，则构成的系统循环码编码器如图8-6所示，图中有4个移位寄存器，一个双刀双掷开关。

​ 当信息位输入时，开关位置接“2”，输入的信息码一方面送到除法器进行运算，一方面直接输出；当信息位全部输出后，开关位置接“1”，这时输出端接到移位寄存器的输出，这时除法的余项，也就是监督位依次输出。 顺便指出，由于数字信号处理器（DSP）和大规模可编程逻辑器件（CPLD和FPGA）的广泛应用，目前已多采用这些先进器件和相应的软件来实现上述编码。

译码过程 对于接收端译码的要求通常有两个：检错与纠错。达到检错目的的译码十分简单通过判断接收到的码组多项式B(x)是否能被生成多项式g(x)整除作为依据。当传输中未发生错误时，也就是接收的码组与发送的码组相同，即A(x)=B(x)，则接收的码组B(x)必能被g(x)整除；若传输中发生了错误，则A(x)≠B(x)，B(x)不能被g(x)整除。因此，可以根据余项是否为零来判断码组中有无错码。 需要指出的是，有错码的接收码组也有可能被g(x)整除，这时的错码就不能检出了。这种错误被称为不可检错误，不可检错误中的错码数必将超过这种编码的检错能力。 在接收端为纠错而采用的译码方法自然比检错要复杂许多，因此，对纠错码的研究大都集中在译码算法上。 我们知道，校正子与错误图样之间存在某种对应关系。如同其它线性分组码，循环编码和译码可以分三步进行：

（1）由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项式S(x)；

（2）由校正子S(x)确定错误图样E(x)；

（3）将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。

​ 上述第（1）步运算和检错译码类似，也就是求解B(x)整除g(x)的余式，第（3）步也很简单。因此，纠错码译码器的复杂性主要取决于译码过程的第（2）步。

​ 基于错误图样识别的译码器称为梅吉特译码器，它的原理图如图8-7所示。错误图样识别器是一个具有（n-k）个输入端的逻辑电路，原则上可以采用查表的方法，根据校正子找到错误图样，利用循环码的上述特性可以简化识别电路。梅吉特译码器特别适合于纠正2个以下的随机独立错误。

​ k级缓存器用于存储系统循环码的信息码元，模2加电路用于纠正错误。当校正子为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端为0，输出缓存器的内容；当校正子不为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端在第i位输出为1，它可以使缓存器输出取补，即纠正错误。

​ 循环码的译码方法除了梅吉特译码器以外，还有补错编译码、大数逻辑编译码等方法。捕错译码是梅吉特译码的一种变形，也可以用较简单的组合逻辑电路实现，它特别适合于纠正突发错误、单个随机错误和两个错误的码字。大数

​ 逻辑译码也称为门限译码，这种译码方法也很简单，但它只能用于有一定结构的为数不多的大数逻辑可译码，虽然在一般情形下，大数逻辑可译码的纠错能力和编码效率比有相同参数的其它循环码（如BCH码）稍差，但它的译码算法和硬件比较简单，因此在实际中有较广泛的应用。