图1 二年级上册“有多少个点子”

在上课之前，我实在有些困惑，学生已经能顺利地理解 7×4的含义，还能举出“家里一天吃 4个苹果，7天共吃多少个苹果”等类似的例子来表达，似乎再借助点子图理解乘法含义并没有什么特别的作用。

但课堂上学生的表现让我惊喜。学生是初次与“点子图”见面，却很喜欢这节有趣的数学课。

首先，学生感觉很新奇，一张“点子图”既可以横着看，也可以竖着看，在一张小小的“点子图”上竟然能够找到这么多算式。其次，整齐的“点子图”让学生数和圈都很方便，操作上不存在任何困难。

最重要的是，借助“点子图”学生很容易表达出 4×7的含义：一行有 4个，有 7行，就有 7个 4；一行有 7个，有 4行，就有 4个 7。

学生在边操作边说的过程中体会了乘法的意义，在“点子图”的帮助下，建立了一个形象直观的数学模型。

02

沟通不同口诀间的内在联系

在二年级上册 “6～9 的乘法口诀”单元，我们再次看到了“点子图”的身影，细细研读教材，不禁拍案叫绝。“点子图”不仅直观体现了乘法的意义，还直观表示出囗诀之间的联系。

教学时，我先出示了教材中用点子图推算 6×7的两种方法，请学生仔细看图，并谈谈自己的理解。（图2）

图2 二年级上册“有多少张小贴画”

生甲：7 个 6 就是 5 个 6 加上 2 个 6。

生乙：我来补充一下，5 个 6 等于 30，2 个 6 等于 12，30 加 12 等于 42。

生丙：我明白了，要想算 7 个 6 等于多少，可以先算出上面 5 个 6，再算出下面的 2 个 6，就能得到结果。

学生理解的层层推进，一边比画一边说的模样让我想到了一个核心词：几何直观。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：

“

几何直观主要是指利用图形描述问题和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果。

”

在这里，学生用“点子图”表达 7个 6，通过圈一圈，形象地把 7个 6转化已经学过的知识，清晰地表达推算口诀的过程和结果。

由此看来，“点子图”不仅引导学生理解不同口诀间的联系，还引导学生经历一个将新知转化成旧知的数学思维过程。

03

理解乘法计算中每一步的含义

正是因为发现了“点子图”在学习乘法意义的理解上大放异彩，我猜想教材会利用“点子图”这个直观模型帮助学生理解“两位数乘一位数”的笔算乘法的道理，果然在三年级上册 “两位数乘一位数”的笔算乘法时出现了这样的过程。（图3）

图3 三年级上册“蚂蚁做操”

教材在呈现竖式时，把竖式计算中的每一步都与列表和“点子图”的计算过程建立了联系。这样就让学生的笔算（数）与点子图（形）建立了真切的连接。这种连接对学生理解竖式每一步的含义，从而掌握竖式计算方法，有着莫大的好处。

三年级下册学习 “两位数乘两位数笔算”时“点子图”再次如约而至。（图4）

图4 三年级下册“队列表演（二）”

借助“点子图”理解竖式每一步的意思，并且竖式每一步的计算都有了直观表达，这对学生理解竖式计算的道理提供了强有力的支撑。

04

帮助学生形成多样化的算法

在乘法的学习过程中，“点子图”始终站在学生的角度，给学生提供了可以直接操作的可靠模型，以几何直观的方式促进学生的数学理解。在三年级上册计算 12×3时，我准备好“点子图”，让学生自己选择方法计算并表达出计算过程。（图5）

图5 学生作品

我们可以看出：

1 号同学把一行 12 个点子分成了 10 个和 2 个，计算3 个 12 就转化成 3 个 10 和 3 个 2 之和。这种算法与学生付钱的实际经验是一样的。

2 号同学直接分成两个部分进行计算，最后把两个部分合起来。

3 号同学根据“点子图”圈出 12 个 3，然后再分成 4 组并计算出结果，这正是学生在操作过程中真切的数学思考。

4 号同学根据“点子图”分成 6 组，在这基础上再组合成两组，这样就产生了两种不同的算式。

在总结时通过比较，大家发现：这四种算法都是先把整体“分块”，再把这些“块”合起来。

“点子图”激发学生尝试和操作的欲望，学生有了直观、可靠的“形”的支撑，为多样化的方法打下良好的基础。

三年级下册在计算 14×12的口算时，教材呈现了三种常见的方法。（图6）

图6 三年级下册“队列表演（一）”

学生有了之前的“分块”经验，容易得出前面的两种算法。对于第三种分法，出现了不同的声音，有同学认为分成 4“块”计算显得很麻烦。

当他们仔细观察后发现，分成的 4“块”中有 3“块”都是整十、整百数，只有右下角的 1“块”是一个普通的数，计算很方便。他们一致认为这种方法是“大智若愚”。而这种方法的出现也为后面对乘法竖式的解埋下了伏笔。

05

有助于学生对运算律的理解

教材到四年级上册正式学习乘法分配律，我们可以回想，其实从二年级上册口诀间的联系就开始渗透乘法分配律了。在三年级，“两位数乘一位数”“两位数乘两位数”的分步计算方法实际上也在利用“点子图”的直观，体会基于乘法分配律的计算道理。（图7）

图7 四年级上册“乘法分配律”

教材结合“点子图”来帮助学生理解乘法分配律的合理性。

学生结合之前乘法学习的经验就能画出类似教材的“分块”计算的图形，直观地表达乘法分配律的推理过程。小学数学内容的一大难点，竟然在“点子图”面前变得如此顺理成章。

笔者还发现，在乘法计算中教材呈现的点子图、表格和长方形的面积是一脉相承的。（图8）

图8

从右边的算式还可以看到多项式乘多项式的雏形。看来，“点子图”为学生的长远发展做了有利铺垫。

行文至此，笔者不禁掩卷长思。新世纪小学数学教材编者直的走进了学生内心，关注了学生的发展。

学生在“点子图”的指引下，对乘法意义理解得更直观可靠，对乘法计算过程和算理的理解更有生命力。教师借助“点子图”，突破了传统的教学方式，激活了教师的思想，让教育走向真正的变革。

邓德彬︱四川省成都市文翁实验小学

编辑 新世纪小学数学返回搜狐，查看更多