如图：在等边△ABC中，点D是线段BC上一点，作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接CE并延长交AD于F。

（1）设∠BAF=α，用α表示∠BCF的度数；

（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系。

【题目解析】

1、题中有B关于AD的对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，而线段的垂直平分线到线段两个端点的距离相等，所以连接AE和BF就得到对称图形；

2、第二问求证的三条线段是有共同端点的三条线段的数量关系，这种特点的几何题我们可用旋转变换解决问题。题中有等边△ABC，等边三角形的三条边相等，三个角都是60°。以等边三角形的任意一个顶点为旋转中心都是可以的。

第一问

连接AE和BF。因为B和E关于AD对称，所以△ABF≌△AEF，所以∠FAE=∠BAF=α，AB=AE。所以∠EAC=60°-2α。因为等边△ABC中AB=AC，所以AE=AC，所以∠AEC=∠ACE=60°+α。因为∠ACB=60°，所以∠BCF=α。

由第一问得到∠BCF=α，所以∠BAF=∠BCE，而∠BDA=∠FDC，所以∠AFC=∠ABC=60°。由对称性可知∠BFA=∠AFC=60°。

第二问

第二问是求共端点的三条线段的数量关系，所以可利用旋转解决问题。

方法1：以A为旋转中心，逆时针方向旋转

图1

如图1，作∠FAM=60°，与FC的延长线交于M或者延长FC到M，使FM=AF，连接AM。

在这里选择后者辅助线加以讲解。因为∠AFC=60°，且FM=AF，所以是等边三角形。所以AF=AM，且∠FAM=60°。由AB=AC，∠BAF=∠CAM，AF=AM得所以BF=CM。因为FM=AF，FM=CF+CM，BF=EF，所以AF=FE+CF。

方法2：以A为旋转中心，顺时针方向旋转

图2

如图2所示，延长FB到N，使FN=AF，连接AN。

方法3：以B为旋转中心，逆时针方向旋转

图3

如图3，作∠FBH=60°或者在FA上截取FH=FB。

方法4：以B为旋转中心，顺时针方向旋转

图4

如图4，延长CF到M使FM=FB。

方法5：以C为旋转中心，顺时针方向旋转

图5

如图5，在FA上截取FH=FC，连接CH。

方法6：以C为旋转中心，逆时针方向旋转

图6

如图6，延长BF到M，使FM=FC，连接CM。

小结

旋转是初中数学重要三大变换之一，而等边三角形是最典型的旋转图形。题中虽然用的是旋转，但是辅助线没有说旋转，因为旋转后要证明共线，这个对于大部分学生会想当然而忘记证明前功尽弃。另外这里只给了第一种方式证明，大家可以尝试用其他的方法证明出来，如果有疑问欢迎大家向周老师提问。

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