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第5讲 平行四边形和梯形（思维导图+知识锦囊+典例精讲+真题演练）【思维导图】【知识锦囊】【典例精讲】【典例一】过A点画OB的垂线。

【分析】过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线。【详解】 【分析】熟练掌握垂线的画法是解答本题的关键。【典例二】黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。（1）裁判员会以（ ）脚落地点（ ）来确定她的立定跳远成绩。（2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度；（2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。（2）作图如下：【分析】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。【典例三】一个等腰梯形，它的下底比上底长9厘米，上底和一条腰的长都是6厘米，这个梯形的周长是多少厘米？【分析】等腰梯形的两条腰相等，则上底和每条腰都长6厘米。用上底的长度加上9厘米，求出下底的长度。根据梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，据此解答。【详解】6＋（6＋9）＋2×6＝6＋15＋12＝33（厘米）答：这个梯形的周长是33厘米。【分析】本题考查梯形周长公式的应用，关键是熟记公式。【典例四】按要求操作。（1）在下面空白处把平行四边形画完整（大小自定）。（2）画一条线段，把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形。（3）量出的度数并标明。【分析】（1）根据平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等可画出平行四边形；（2）如下图过点A作线段AF交BC与F，线段AF把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形；（3）利用量角器即可量出∠1的度数。【详解】（1）画出的平行四边形如图；（2）把这个平行四边形分成一个三角形和一个梯形，如图；（3）经度量，∠1＝。【分析】本题主要考查平行四边形的画法，图形划分以及用量角器度量角。【真题演练】一、解答题1．（2021秋·浙江台州·四年级统考期末）如图中每小格表示边长是1厘米的小正方形。（1）依次连接图中四个点，得到的四边形是一个（ ）形。（2）画出这个四边形的高。（3）移动其中一个点，使这个四边形变成平行四边形，在图中把这个点移动后的位置表示出来。2．（2023秋·河北秦皇岛·四年级校考期末）河的北面有一个A村，村里的人想挖一条河渠将河水引到A村，怎么挖最省时省力？请画出来。3．（2023秋·湖北随州·四年级统考期末）按要求完成下面各题。（1）画一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形。（2）小刚说的对吗？请画出这个直角梯形并简要说明理由。4．（2022秋·贵州六盘水·四年级统考期末）一个等腰梯形的上底为32厘米，比下底短10厘米，腰为15厘米。这个梯形的周长是多少厘米？5．（2023秋·河南洛阳·四年级统考期末）下图是一个梯形。（1）作出点B到对边AD的垂线，量出点B到线段AD的距离是（ ）毫米。（2）过点C画出AB边的平行线。6．（2022秋·重庆丰都·四年级统考期末）增加一条线段，把下面图形改成一个平行四边形和一个三角形。（1）平行四边形两组对边分别（ ）且相等。（2）平行四边形对角（ ）。7．（2023秋·山西晋中·四年级统考期末）“积点成线，积线成面”这句话很好的解释了点、线、面之间的关系，也就是说：线是由好多个点组成的，面是由若干条线（边）组成的。把下图中长方形的一条边减少或增加若干个点后，会变成一个新的平面图形，你觉得会是什么平面图形呢？（请在右面的长方形上画出两种不同的平面图形）8．（2021秋·湖北孝感·四年级统考期末）桃花村在荷沙公路南侧。为了方便村民，村里决定从A处修一条路通往荷沙公路，怎样修路线最近？请你画出这条最近的路线。9．（2022秋·四川德阳·四年级统考期末）用一根铁丝围成一个长方形，长为18厘米，宽为12厘米。如果把这根铁丝改围成一个上底为15厘米，下底为25厘米的等腰梯形，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？（铁丝均无剩余）10．（2022秋·浙江绍兴·四年级统考期末）如图，每个小正方形的边长是1厘米。（1）测量：∠CAB＝（ ）°。（2）在方格图的格点中再找一个点D，使得A，B，C，D连接起来成为一个等腰梯形。（3）过点D画出这个等腰梯形的高。（4）请你描述一下，点D在格子图中如何运动可以使四边形ABDC成为一个平行四边形。11．（2023秋·河南南阳·四年级统考期末）“西气东输”是国家“十五”重点工程。康庄村和娄营村分别要铺一条管道与输气管道相连接，怎样铺管道成本最低？在图中画出来。并简要说明理由。 12．（2022秋·河南许昌·四年级统考期末）丹丹如果从A点穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路出来。13．（2022秋·河南周口·四年级统考期末）如图，直角梯形的下底比上底长3cm，两腰之和是12cm，三角形的周长是多少厘米？14．（2020秋·天津东丽·四年级统考期末）如图是一组平行线，请你在一条直线上任意选几个点，过这些点分别向另一条直线画垂线，量一量点到垂足间的距离，有什么发现吗？把你的发现写下来。我的发现：15．（2022秋·河南许昌·四年级统考期末）小羊要到小河边喝水，请你为它设计一条到河边最近的路线，在图上画出来。设计的理由是：____________。16．（2023秋·重庆开州·四年级统考期末）按要求完成下列各题。（1）画出梯形底边上的高。（2）量出∠1的度数为（ ）。（3）在这个梯形中画一条线段，得到一个最大的平行四边形。17．（2023秋·四川乐山·四年级统考期末）黄霏霏站在A点起跳，落地后的情况如图所示。（1）裁判员会以（ ）脚落地点（ ）来确定她的立定跳远成绩。（2）具体怎样测量，请在图上画出你的想法。18．（2023秋·吉林·四年级统考期末）一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？19．（2023秋·广东广州·四年级统考期末）按要求在方格图中完成以下操作：（1）量一量，∠1＝（ ）°；在虚线方框中画出比∠1大15°的∠2。（2）以线段AB和BC为平行四边形的两条边，画出平行四边形ABCD。（3）过点C画出平行四边形ABCD的一条高。20．（2023秋·浙江宁波·四年级统考期末）操作题。（1）量一量，∠1＝（ ）。（2）在图中找出一个D点，使ABCD是一个平行四边形。（3）作出平行四边形ABCD的高。21．（2023秋·浙江绍兴·四年级统考期末）一块平行四边形的草地，已知相邻两条边分别是25米、19米，要在它的外面围篱笆（接头处不算），篱笆长多少米？22．（2023秋·湖南张家界·四年级统考期末）一块钢板是一个等腰梯形，它的上底是36厘米，下底是70厘米，周长是2米。这个等腰梯形的一条腰长是多少厘米？23．（2022秋·云南保山·四年级统考期末）乐乐在下面一组平行线上画了一个平行四边形。（1）请你在上面的平行四边形中画出一条高。（2）请你在平行四边形的右边画一个和它的高相等的梯形（把梯形的四边描出来）。（3）在第（2）问的梯形里面画一条线段，使它分成的图形里有一个是平行四边形，另一个图形是（ ）。24．（2023秋·浙江温州·四年级统考期末）按要求完成各题。（1）如图1各四边形中，是平行四边形的有（ ），是梯形的有（ ）。（填序号）（2）如果要把①号图形变成一个等腰梯形，点A可以移动到哪里？请用字母B标出点A移动后的位置。并画出这个等腰梯形。（3）如图2，⑤号图形也是一个四边形，它被遮住了一部分。小明说：“这一定是一个梯形。”你同意他的说法吗？我认为小明说得（ ）（填“对”或者“不对”）。我的理由是：　 　。25．（2023秋·山东济宁·四年级统考期末）爷爷用篱笆靠墙边围成一个梯形菜园，上底长4米，下底比上底长1米，爷爷用了多长的篱笆？参考答案1．（1）梯；图见详解（2）图见详解；（3）图见详解【分析】（1）依次连接图中四个点，根据得到的四边形的形状即可对其命名。（2）形两底间的距离叫做梯形的高，梯形有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。据此解答（3）根据平行四边形的特征，通过移动每个点都能使这个图形变成平行四边形（方法不唯一）。【详解】（1）依次连接图中四个点，得到的四边形是一个梯形。见下图（2）画出这个四边形的高，见下图（画法不唯一）。（3）把点A向右平移4格，即可使这个四边形变成平行四边形，在图中把这个点移动后的位置表示出来（画法不唯一）。【分析】此题考查了梯形的特征、平行四边形的特征、作梯形的高。2．过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。图见详解【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。【详解】过A村这点作河渠这条直线的垂线段，如下：答：过A村这点作河渠这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段挖最省时省力。【分析】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。3．（1）见详解；（2）图见详解；对；理由：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短【分析】（1）对边相等、 4个角都是直角的四边形是长方形，长边的长叫长，短边的长叫宽，根据长是6厘米，宽是4厘米画图。（2）根据要求作图，画出直角梯形，标上端点字母，利用“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”来证明。【详解】（1）画一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形，如下：（2）画图如下：

从图中可以看出，直角梯形的另一条腰为线段DE ， DC为过点D向线段BC作的垂直线段，又因为从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以线段DE一定比线段DC长 ，也就是一定比4厘米长。 （ 答案合理即可）答：小刚说的是对的。理由：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。【分析】本题考查图形的知识，掌握长方形的画法和垂直的性质是解题的关键。4．104厘米【分析】先用上底加上10厘米，求出下底。再根据等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰解答。【详解】32＋（32＋10）＋2×15＝32＋42＋2×15＝32＋42＋30＝104（厘米）答：这个梯形的周长是104厘米。【分析】本题考查等腰梯形周长公式的应用，关键是熟记公式。5．（1）画图见详解；22；（2）见详解【分析】（1）过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过B点时，沿这条直角边画的直线就是过B点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。直尺上1个小格是1毫米，因此将0刻度线对准线段的首端，末端指向第多少个小格，则这条线段就长多少毫米。（2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可，依此画图。【详解】（1）、（2）画图如下：经过测量可知，点B到线段AD的距离是22毫米。【分析】解答此题的关键是应熟练掌握过直线外一点作垂线、画平行线的方法，以及长度的度量方法。6．图见详解；（1）平行；（2）相等【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形；三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形；根据平行四边形和三角形的特征，据此作图即可。根据平行四边形的特征可知： （1） 平行四边形两组对边分别平行且相等。（2）平行四边形对角相等。据此解答即可。【详解】增加一条线段，把下面图形改成一个平行四边形和一个三角形，如下：根据分析可知：（1） 平行四边形两组对边分别平行且相等。（2）平行四边形对角相等。【分析】本题考查了平行四边形的特征知识，结合题意分析解答即可。7．画图见详解；直角三角形、直角梯形。【分析】长方形的特征是：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；平行四边形的特征：两组对边分别平行；梯形的特征：只有一组对边平行，有一个角是直角的梯形是直角梯形；有一个角是90°的三角形，叫做直角三角形；据此解答。【详解】根据分析可得：（画法不唯一）答：把下图中长方形的一条边减少或增加若干个点后，会变成一个新的平面图形，这个图形可能是直角三角形、可能是直角梯形。【分析】根据题意把长方形的一条边变短或变长，看看新的平面图形是什么图形即可。8．过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。图见详解【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。【详解】过A点作公路这条直线的垂线段，如下：答：过A点作公路这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段修路最近。【分析】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。9．10厘米【分析】根据题意可知，先求出长方形的周长，也就是梯形周长，然后用梯形的周长减去上底、下底，然后除以2就是一条腰的长度，据此解答。【详解】（12＋18）×2＝30×2＝60（厘米）（60－15－25）÷2＝20÷2＝10（厘米）答：这个等腰梯形的腰长是10厘米。【分析】此题考查的目的是理解掌握等腰梯形的特征，以及梯形周长公式的灵活运用。10．（1）115（2）见详解（3）见详解（4）点D向上平移2格【分析】（1）量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（3）高是指梯形上下底的距离，过点D画出垂直于底的线段即是这个等腰梯形的高。（4）两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，AB有2格，DC也是2格，据此描述D点的运动方向和距离。【详解】（1）测量：∠CAB＝（115）°。（2）如图：（3）如图：（4）点D向上平移2格可以使四边形ABDC成为一个平行四边形。【分析】此题考查了角的度量、平行四边形和梯形的特征、作梯形的高，属于基础题，应熟练掌握。11．分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，沿着垂线段铺管道成本最低；理由是：垂线段最短；图见详解【分析】要使所铺的两条管道成本最低，就要使所铺管道最短。根据直线外一点与这条直线连接的所有线段中垂直的线段最短，应该分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段。【详解】分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，如下：答：分别过康庄村和娄营村所在的点作输气管道的垂线段，沿着垂线段铺管道成本最低；理由是：垂线段最短。【分析】正确理解垂直的性质，垂线段最短，是解答此题的关键。12．画图见详解；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。【详解】画图如下：理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。【分析】此题考查的是过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点，是解答此题的关键。13．15厘米【分析】平行四边形的对边互相平行且相等，由此可知，用直角梯形的下底比上底长的长度加两腰之和，即可得到三角形的周长，依此计算。【详解】12＋3＝15（厘米）答：三角形的周长是15厘米。【分析】此题考查的是三角形的周长的计算，应熟练掌握直角梯形和平行四边形的特点。14．图见详解过程平行线间的距离处处相等（答案不唯一）【分析】在第一条直线上先选两点M、N，把三角板的一直角边靠紧第一（或二）条直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点M时，沿这条直角边画直线，这条直线就是这两条平行线的垂线；用同样的方法即过点N画出这两条平行线的垂线。同一条垂线与这两条平行线的垂足间的线段，就是这两条平行线间的距离。通过度量，可以发现平行线间的距离处处相等。【详解】根据分析，作图如下：（画法不唯一）我的发现：平行线间的距离处处相等。（答案不唯一）【分析】求已知直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线，三角板的正确、熟练使用是关键。15．路线见详解；点到直线的距离，垂线段最短。【分析】把河岸看成―条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质，即可解决问题。【详解】理由：点到直线的距离，垂线段最短。【分析】本题主要考查学生对过直线外一点画已知直线垂线的掌握。解答此题的关键是熟练掌握垂线的画法。16．（1）（3）见详解（2）55°【分析】（1）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，据此作图；（2）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；（3）要想在这个梯形中得到一个最大的平行四边形，则该平行四边形的底一定与梯形的上底相等，平行四边形的高与梯形的高相等，即：以梯形的上底作为平行四边形的底，过上底的一个顶点作腰的平行线即可。【详解】（1）作图如下：（2）量出∠1的度数为55°。（3）作图如下：【分析】本题主要考查画梯形的高，角的度量以及平行四边形的特征等，结合题意进行解答即可。17．（1）右；C（2）图见详解过程【分析】（1）应测跳远时起跑线与身体接触沙坑最后落脚点之间的垂直长度；（2）垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。根据垂线段的性质，即可解答。【详解】（1）裁判员会以右脚落地点C来确定她的立定跳远成绩。（2）作图如下：【分析】此题考查了垂线段的特征和性质，要熟练掌握。18．70厘米【分析】因为平行四边形的对边相等，所以周长＝邻边之和×2，先用加法求出已知的一条边的邻边的长度，再代入数据计算即可。【详解】（15＋15＋5）×2＝（30＋5）×2＝35×2＝70（厘米）答：至少需要70厘米的木条。【分析】此题主要考查平行四边形的周长计算。平行四边形周长＝邻边之和×2。19．30°；见详解【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此量出∠1的度数为30°。比∠1大15°的∠2的度数是45°。画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器45°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出45°的角。（2）平行四边形的两组对边平行且相等，据此画出平行四边形ABCD。（3）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。【详解】（1）30°（2）（3）【分析】用量角器量角或这画角时，注意量角器的中心和顶点重合，0°刻度线和一条边重合。平行四边形的高一般用虚线表示，并画上垂直符号。20．（1）65°（2）（3）见详解【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。（2）平行四边形的两组对边平行且相等，则D点和A点在同一行，D点在A点右边5格处。（3）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。据此画图即可。【详解】（1）∠1＝65°（2）（3）【分析】用量角器量角的度数时，注意看刻度要分清内外圈。平行四边形有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。21．88米【分析】篱笆长度就是平行四边形的周长，平行四边形的周长＝一组邻边的和×2，把数据代入公式计算即可。【详解】（25＋19）×2＝44×2＝88（米）答：篱笆长88米。【分析】此题主要考查平行四边形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。22．47厘米【分析】1米＝100厘米，根据进率统计单位；等腰梯形的两腰相等；再计算一条腰长＝（周长－上底－下底）÷2；据此解答。【详解】2×100＝200（厘米）（200－36－70）÷2＝94÷2＝47（厘米）答：这个等腰梯形的一条腰长是47厘米。【分析】掌握等腰梯形的概念，以及等腰梯形周长的计算方法是解答本题的关键。23．（1）（2）图见详解过程（3）图见详解过程；三角形（答案不唯一）【分析】（1）根据平行四边形高的含义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，据此作出平行四边形的一条高即可；（2）根据梯形的特征、梯形高的意义，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，从梯形的上底任意一点向对边作垂线，顶点到垂足的距离叫做梯形的高，据此作图即可；（3）根据三角形、平行四边形的特征，首先测量出梯形的上底，再从梯形下底的一端测量与上底相同的线段，然后从梯形上底的一个端点向对边作腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，答案不唯一。【详解】（1）（2）作图如下：（3）在第（2）问的梯形里面画一条线段，使它分成的图形里有一个是平行四边形，另一个图形是三角形。（答案不唯一）作图如下：【分析】此题考查的目的是理解掌握三角形、平行四边形、梯形的特征，以及平行四边形、梯形高的意义、高的画法及应用。24．（1）②；①③（2）见详解（3）不对；这个图形可能是长方形，也可能是梯形。【分析】（1）平行四边形的特征：两组对边分别平行；梯形的特征：只有一组对边平行，据此解答。（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形，据此画图即可。（3）观察图发现：上下两个边平行，左右两个边有可能平行，所以可能是长方形；如果左右两个边不平行，就是梯形。所以这个四边形可能是长方形，可能是梯形。据此解答。【详解】（1）如图1各四边形中，是平行四边形的有②，是梯形的有①③。（2）如果要把①号图形变成一个等腰梯形，点A可以左移两格。如图：（3）观察图发现：上下两个边平行，左右两个边有可能平行，所以可能是长方形；如果左右两个边不平行，就是梯形。所以这个四边形可能是长方形，可能是梯形，小明说得不对。所以我认为小明说得不对。理由：这个图形可能是长方形，也可能是梯形。【分析】本题主要考查平行四边形和梯形的特征，属于基础知识，要熟练掌握。25．28米【分析】先用梯形菜园上底的长度加1米，从而计算出梯形菜园下底的长度，然后用梯形菜园下底的长度加10米后，再加13米即可，依此计算并解答。【详解】4＋1＝5（米）5＋10＋13＝28（米）答：爷爷用了28米的篱笆。【分析】此题考查的是梯形的周长的计算，先计算出下底的长度是解答此题的关键。

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