数列求和:等比数列相关知识及公式运用讲解 |
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等比数列定义: 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于一个常数(不为0),那么,这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比。 来看下面这道题: 【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。 通过观察,会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。 2÷1=2; 4÷2=2; 8÷4=2; …… 1024÷512=2。 所以这个题目就是典型的等比数列求和题, 公比是2。 例1中,如果拿笔硬算会十分麻烦,而且容易出错。 在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。 ☞ 错位相减法 令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024, G老师让A这个式子再乘以数列的公比, 会得到什么呢? 2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048, 这样我们构造出了一个新数列, 而且这个数列的和等于原数列乘以公比。 再将两个式子相减, G老师纯手写左边是2A-A=A; 右边是2048-1; 等式右边其余的项都已经抵消了。 这样我们就得出结果了, 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047 再来看看下面这道题 【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187 分析:这题是等比数列求和,公比是3,共有7项。采用错位相减法,让等式乘以它的公比。 令A=3+9+27+81+243+729+2187; 则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561; 两式相减, 3A-A=2A=6561-3 2A=6558 A=6558÷2=3279 所以, 3+9+27+81+243+729+2187=3279 总结一下,等比数列的一般规律。 等比数列中, 公比=后一项÷前一项; 末项的值=首项x公比的(n-1)次方(n代表项数)。 注意:公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘 如【例2】中,末项是2187,首项是3,项数n=7。 2187=3x3^(7-1) 等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1) (由错位相减法得出) |
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