等差中项

等差数列就是一次函数上的点

S n = n ( a 1 + a n ) 2 S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} Sn​=2n(a1​+an​)​ 倒序相加法 证明：

将(1)变形可得 a 1 + a n 2 = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n n \frac{a_1+a_n}{2} = \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n} 2a1​+an​​=na1​+a2​+a3​+...+an​​ 所以 a 1 + a n 2 \frac{a_1+a_n}{2} 2a1​+an​​ 就是等差数列{an}前n项的平均数。

例题1

例题2 an=a1+(n-1)d 等差数列求通式的问题，我们只要知道任意两项 利用二元一次方程组的思想，列出方程组 就可以求出通项公式。

例题3

例题4 解析 此题，一般会求出Sn求和公式，然后，根据一元二次方程的性质，在对称轴时取得最值。 但是，这里是数列，Sn本质上是通过{an}累加所得，所以，我们只要找到，当n为多少时， an的值小于0，此时，Sn取得最大值。

例题5 在等差数列 a n 中，若 a 4 + a 6 + a 8 + a 10 + a 12 = 120 ，求 a 10 − 2 3 a 11 在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6+a_8+a_{10}+a_{12}=120，求a_{10}-\frac{2}{3}a_{11} 在等差数列an​中，若a4​+a6​+a8​+a10​+a12​=120，求a10​−32​a11​ 解析 此题，思路是，先求出a8，然后，将a10和a11都用a8和公差d表示 会发现，未知数公差d会被消去。从而得出答案。

例题6 解析 这一题其实比较难的 第一小问 有两种解法 1、将an用bn表示出来，代入条件中，得到bn和bn-1的关系式 然后，转化成bn - bn-1的式子，得出一个公差d，从而证明了bn是等差数列 2、直接根据等差数列的定义，将bn - bn-1用an和an-1表示出来，然后，进行化简计算 得出公差d。 第二小问 很简单

例题7 解析 解法1 用求和公式求解 Sn的表达式中，a1项系数要化为1，这样方便求证。 解法2 用性质求解