(2).等差数列求和

回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？

思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。

思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。

找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：

3×5=15

(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。)

有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=

没有代表，我们也要造出一个代表来。5和6的中间数就是5.5，也就是他们的平均数。

愉快的解答：

(5+6)÷2×10=55

思路3：配对求和

有同学觉得前面的方法目标不够远大，找的都是能看的见的，有时候平均数隐藏的更深，根本看不见，比如：1+2+3+4+5+…+100，平均数藏在…中，让我们无从下手。不用着急，伟大的数学家高斯在他10岁的时候就想到了解决这个问题（这也是等差数列求和公式也叫高斯求和公式的原因），下面就是他的方法：

观察上图我们不难发现：不光 (5+6)÷2是这组数的平均数，(4+7)÷2、(5+6)÷2、(3+8)÷2、(2+9)÷2、(1+10)÷2都是这组数的平均数。那么是不是不一定要找中间的数，直接取首尾两数相加除以2也可以得到这组数的平均数。

愉快的计算：

（1+10）÷2×10=55

上述方法的巧妙在于我们发现，等差数列的首尾相加，第二位数字和倒数第二位数字相加，第三位数字和倒数第三位数字相加，依次类推，它们的和都相等，这也是等差数列的一个特点，而少年的高斯发现了这个特点。相信也有很多人一开始也发现了这些特点，有些特征过于平凡，可能会让我们忽视它们内在的规律，或者只顾解决当下问题，而未能远思，少了那往前跨出去的一步。

总结前面的计算过程，我们可以得到高斯求和公式（等差数列的求和公式）：

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

思路4：倒序相加求和

这不都出公式了么，怎么又来一个思路呢？

因为勤于思考的同学又有疑问了，前面的公式是通过配对求和得到的，偶数个数才能配成整数对，如果是奇数个数，没法配成整数对，那这个求和公式还能用吗？我们看看下图：

不管奇数个数还是偶数个数，采用倒序相加再除以2仍然可以得到跟原来一样的公式。

(3).例题及练习

例1: 1+2+3+4+5+…+100=

友好的送分，如果到现在还不会的话，建议从头再来一遍。

例2：1+3+2+6+3+9+…+100+300

分析：乍一看，这组数不是等差数列。相邻的数之间的关系比较凌乱、破碎。但我们依然能发现1,2,3，…，100这些熟悉的数字。而这些数字恰好出现在奇数位置，剩下的偶数位置是3,6,9，…，300。显然，我们要对着组数重新分组，分别套用求和公式即可：

（1+2+3+…+100）+（3+6+9+300）

=（1+100）×100÷2+(3+300)×100÷2

=5050+15150

=20200

当然这道题还有其他做法，比如1+3=4,2+6=9,3+9=12，…，100+300=400，将相邻两个数相加，他们的和构成一个新的等差数列。

（观察，思考，联想，有时候需要重新排兵布阵，把杂乱的关系重新整理。）

例3：993+994+995+...+1007（有更简单的做法吗？）

例4: 1000-71-29-72-28-73-27-74-26-75-25-76-24-77-23-78-22-79-21（要用公式吗）

二、等差数列的项数

有时候，一列数的项数可以直接数出来，有时候却不那么明显，这个时候，怎么求项数呢？如：

27+34+41+...+160=

我们从上面一列数中得到的信息：首项=27，末项=160，公差7。

好像不容易直接看出项数，我们现在好一个简单直观的例子，搞清楚首项、末项、公差与项数之间有什么关系。

回顾这张图片：

我们发现：末项-首项=15，15÷3=5个公差。5在这里还有什么意义呢？我们可以把5理解为3到18所经过的间隔，间隔长度就是公差，间隔数+1=项数。

综上有：项数=（末项-首项）÷公差+1

公式变形后可得：末项=首项+（项数-1）×公差，首项=末项-（项数-1）×公差

使用公式，求27+34+41+...+160有

项数：（160-27）÷7+1=20

和： （27+160）×20÷2=1870

上面求项数的过程，和植树问题，是不是有些相似之处呢？

当然还有其他间隔问题中也有类似的规律，如锯木头，爬楼梯，敲钟，排队列等。

三、综合练习

练1：如下图是一个圆柱钢管的的V形架，如果V形架上一共有210根钢管，那么最上层有多少根钢管？

练2：有一堆粗细均匀的圆木，按下图所示方式堆放，最上面一层有6根，每向下一层增加1根，共堆了25层。问：这堆圆木有多少根？

在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？

四、 总结

1.捕捉那些不时闪耀出的思维的火花，如果孩子突然冒出一个绝妙的主意，值得鼓励，“配对”就是个绝妙的注意。

2.把复杂问题分解成简单问题，或者先从简化问题中找寻跟复杂问题相同的规律，是一种常见的思维方式。

3.找到各个知识点之间的联系会让对每个知识点的理解都更加深刻，记忆也更为准确，编的知识之网也更结实。

4.简单的作图能加深理解，记忆深刻。图像，文字（语言）相互联系，配以想象，对青少年的记忆效果提升明显。

5.今天的成果，高斯求和公式：等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2

项数=（末项-首项）÷公差+1（没记住但能推导出来更好）

五、高斯的小故事

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。

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