2020高中数学 第二章等差数列的概念及简单的表示

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简介:第1课时 等差数列的概念及简单的表示 学习目标:1.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点). [自 主 预 习·探 新 知] 1.等差数列的概念 (1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. (2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,n∈N*). 2.等差中项 (1)条件:如果a,A,b成等差数列.(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a+b=2A. 思考:观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列: (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. [提示] 插入的数分别为3,2,,0. 3.等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d. 思考:教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法,还有其它方法吗?如何操作? [提示] 还可以用累加法,过程如下: a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, …… an-an-1=d(n≥2), 将上述(n-1)个式子相加得 an-a1=(n-1)d(n≥2), ∴an=a1+(n-1)d(n≥2), 当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式, ∴an=a1+(n-1)d(n∈N*). 4.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d). (1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上; (2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d. 思考:由等差数列的通项公式可以看出,要求an,需要哪几个条件? [提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可. [基础自测] 1.思考辨析 (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  ) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关.(  ) (3)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)√  提示:(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列.(2)正确.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d 2.等差数列-6,-3,0,3,…的公差d=________. 3 [(-3)-(-6)=3,故d=3.] 3.下列数列: ①0,0,0,0; ②0,1,2,3,4; ③1,3,5,7,9; ④0,1,2,3,…. 其中一定是等差数列的有________个. 3 [①②③是等差数列,④只能说明前4项成等差数列.] 4.在△ABC中,三内角A、B、C成等差数列,则B等于________. 【导学号:91432137】 60° [因为三内角A、B、C成等差数列, 所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°, 所以3B=180°,所以B=60°.] [合 作 探 究·攻 重 难] 等差中项  在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列. 【导学号:91432138】 [解]  -1,a,b,c,7成等差数列, ∴b是-1与7的等差中项, ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项, ∴a==1. 又c是3与7的等差中项, ∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. [规律方法] 三数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*). [跟踪训练] 1.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项. [解] 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得m+n=6.所以m和n的等差中项为=3. 等差数列的通项公式及其应用  (1)在等差数列{an}中,已知a4=7,a10=25,求通项公式an; (2)已知数列{an}为等差数列,a3=,a7=-,求a15的值. 【导学号:91432139】 思路探究:设出基本量a1,d,利用方程组的思想求解,当然也可以利用等差数列的一般形式an=am+(n-m)d求解. [解] (1) a4=7,a10=25, 则得 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5, ∴通项公式an=3n-5(n∈N*). (2)法一:(方程组法)由 得解得a1=,d=-, ∴a15=a1+(15-1)d=+14×=-. 法二:(利用am... 更多>>

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