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一、引例
我们知道,对于正项级数可以利用所谓的通项等价关系进行审敛,即 废话不多说,看例题 : 例题你觉得简单?下面这坑你必踩~ 经典的错误,标准的零分~ 关注A选项~ 你的做法: 应用性质:在级数中加上或减去有限项后级数的敛散性不变 设从某一项 N 之后, 运用等价无穷小 如果按照交错级数审敛法(莱布尼兹审敛法)判断其收敛,故原级数收敛(此处不讨论加绝对值的级数) 但是A说:我才不是 条件收敛!!! 为什么错了呢? 这里可能就有人会说,我知道我知道!使用等价无穷小判敛法只适用于正项级数。具体证明详见文末。 回看上面的例子, 蓝色框框里,其实我们是默认了后面的展开也是收敛的。那我们做题肯定不能就这样默认啊╭(╯^╰)╮ 应该注意: ①等价无穷小如其名,是大小上的等价,而敛散性和大小不存在绝对关系,只可以认为二者大小几乎一致,因为等价无穷小的获得就是将左式的泰勒展开截取主要部分形成的。②“敛散性和大小不存在绝对关系”所包含的关系中有一条关系是确定的:如果其等价无穷小形成的级数的部分和趋于∞,则意味着原无穷级数部分和趋于∞,该级数一定发散所以我们一定要留一个心眼:展开到你能确定后面都是收敛了的时候。 通过等价无穷小变换和泰勒展开(多去验证几项)其动机应该是 否定原不易直接判断的级数的收敛性的,因为泰勒级数有无穷项,无法全部验证收敛,况且无穷项收敛的级数累加还收敛吗? 再来看一道 若用等价代换,也是错的!只能用于正项级数! 欣赏下别的错误解析~ 附:别的坑 极限~ 有参考~ 等价无穷小能应用于判断级数敛散性吗? - 知乎 交错级数不能用通项等价关系审敛 - 知乎 「进来踩坑」级数判敛的等价法的一个例子_哔哩哔哩_bilibili |
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