高等数理统计

2024-06-17 18:01| 来源: 网络整理| 查看: 265

欢迎指正。

第四章点估计的性质

上一章介绍了几种点估计方法以及两个关键的优良性准则：无偏性和最小风险(特例：最小均方误差)。本章我们将介绍与估计量的均方误差有密切关系的有效性问题。因为大多数情况下估计量的最小均方误差都不可能无限指的小，而是有一个C-R下界，因此达到这个下界的估计量最好，称为‘最有效’。

本章的第二个重点内容就是估计量的渐进性质，像相合性、渐进正态性、收敛性。

4.1 C-R不等式

我们先来看以下均方误差的推导，顺便回顾一下上一节的无偏性与风险函数：首先损失函数

为凸函数，风险函数为损失函数的期望，如果损失函数，风险函数即为 均方误差(MSE)，此时有：

由此可以看出,估计量的均方误差=方差+偏差

。对于无偏估计来说,由于，所以有，因此 要求估计量的均方误差尽可能的小，等价于要求估计量的方差尽可能小。

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补充一下正则分布族（C-R分布族）的定义，可能会用到，大部分情况下我们见到的分布族都满足正则分布族的定义，常见的分布只有均匀分布和带位置参数的指数分布(也没那么常见)不是正则分布族。

正则分布族需要满足的几个基本条件摘要如下：

（1）

有共同支撑，即与无关

（2）

关于连续、可导；存在二阶矩，且有这里的

为Fisher信息阵。

（3）

关于求导与关于x求积分可交换次序

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4.1.1 分布参数为一维的情况

我们省去太多有关C-R不等式及证明的内容，上干货：

C-R不等式：

C-R不等式说明，在C-R分布族中，

的任何无偏估计，不管形式如何，其方差，即均方误差总是有下界的，其 方差下界（CRLB）为，与估计量无关，因此方差能达到下界的无偏估计必然是最优的。其中是Fisher信息量，我们在 第二章的2.4节—分布族的信息函数给过详细的介绍，计算公式为

根据以上分析提出以下有效性的定义：

定义1 设

为的无偏估计，若其方差达到C-R下界，即

则称

为的 有效无偏估计。

例1 设

独立同分布，（Poisson分布），计算的无偏估计的下界

（1）取

，这时为一致最小方差无偏估计，且有，且我们容易求得，因此有 . 无偏估计、方差、信息函数的计算细节就不给出了，我们主要是给出C-R下界的计算流程。这里我们可以看到，所以为有效无偏估计。

（2）取

，这时为一致最小方差无偏估计，其中，且有，还有，因此有 . 这里可以看出，，因此不是的有效无偏估计。

定义2 若

为 <

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