一.可微性 1.可微性与全微分: 2.偏导数: 3.可微性条件

对一元函数,可微和可导是等价的;但对多元函数,即使偏导数都存在,该函数也不一定可微

(1)可微的必要条件:

定理17.1:若二元函数 f f f在其定义域内1点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处可微,则 f f f在该点处关于每个自变量的偏导数都存在,且(1)式中的 A = f x ( x 0 , y 0 ) , B = f y ( x 0 , y 0 ) A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0) A=fx​(x0​,y0​),B=fy​(x0​,y0​)因此,函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处的全微分(2)可唯一地表示为 d f   ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) ⋅ Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) ⋅ Δ y df\,|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)·Δx+f_y(x_0,y_0)·Δy df∣(x0​,y0​)​=fx​(x0​,y0​)⋅Δx+fy​(x0​,y0​)⋅Δy与一元函数的情况相同,由于自变量的增量等于自变量的微分,即 Δ x = d x , Δ y = d y Δx=dx,Δy=dy Δx=dx,Δy=dy故 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处的全微分又可写为 d z = f x ( x 0 , y 0 ) d x + f y ( x 0 , y 0 ) d y dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy dz=fx​(x0​,y0​)dx+fy​(x0​,y0​)dy 若函数 f f f在区域 D D D上每1点 ( x , y ) (x,y) (x,y)都可微,则称函数 f f f在区域 D D D上可微,且 f f f在 D D D上的全微分为 d f ( x , y ) = f x ( x , y ) d x + f y ( x , y ) d y ( 8 ) df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy\qquad(8) df(x,y)=fx​(x,y)dx+fy​(x,y)dy(8)

(2)可微的充分条件:

定理17.2:若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的偏导数在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的某邻域内存在,且 f x f_x fx​与 f y f_y fy​在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处连续,则函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处可微

(3)中值公式:

定理17.2证明过程中出现的(9)式,是二元函数的1个中值公式,可概括为下述定理: 定理17.3:设函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的某邻域内存在偏导数,若 ( x , y ) (x,y) (x,y)属于该邻域,则 ∃ ξ = x 0 + θ 1 ( x − x 0 ) ∃\xi=x_0+θ_1(x-x_0) ∃ξ=x0​+θ1​(x−x0​)和 η = y 0 + θ 2 ( y − y 0 )   ( 0 < θ 1 , θ 2 < 1 ) η=y_0+θ_2(y-y_0)\,(0