斯托克斯公式与一些概念 |
您所在的位置:网站首页 › 第一型曲线积分ds怎么求 › 斯托克斯公式与一些概念 |
至此,我们已经学习了第二型曲线积分和第二型曲面积分,主要学习了它们的计算方法:将第二型曲线积分转化为了一个定积分或者二重积分(格林公式),将第二型曲面积分转化为了一个二重积分或者三重积分(高斯公式)。而接下来的斯托克斯公式,将第二型曲线积分和第二型曲面积分联系在了一起,值得深入探讨。 主要内容: 一、斯托克斯公式 知识点8:用斯托克斯公式解题 二、向量场中的向量算子 知识点9:计算环量、旋度与通量、散度 三、场论初步 对向量函数(向量场)的记法,以下两种形式等价: 关于dS的记法 一、斯托克斯公式 定理的内容与理解从形式上看,斯托克斯公式与格林公式有相似之处。实际上,斯托克斯公式是格林公式在空间上的推广,可以计算空间上的第二型曲线积分(格林公式计算的是平面上的第二型曲线积分)。 利用第二型曲线积分和第一型曲面积分的关系,还可以继续转化,即有 其中三个余弦为指定一侧的法向量的方向余弦。 使用斯托克斯公式,一般只要求会用就行,对公式条件的考查并不多,着重需要 记准公式,P Q R;明确转化后的曲面的方向(右手螺旋法则) 公式的记忆 知识点8:用斯托克斯公式解题要点1:一般来说,用斯托克斯公式都是从左往右使用,即用来计算空间上的第二型曲线积分(此时格林公式一定失效);之所以说斯托克斯公式用起来比较复杂,除了公式本身相对于格林公式和高斯公式形式上就不简单之外,还在于转化后的第二型曲面积分还需要我们进一步转化计算,即普遍存在这样的一道流程: 空间上的第二型曲线积分 ==> 第二型曲面积分 ==> 二重积分 要点2:虽然空间上的第二型曲线积分不能使用格林公式,但是最基本的求参数方程转化为定积分的方法依然是可以使用的,也就是说空间上的第二型曲线积分的计算,要么用参数方程转化为定积分的计算,要么使用斯托克斯公式。 要点3:注意斯托克斯公式的第二种形式(相当于将第二型曲线积分转化为了第一型曲面积分计算),当转化后的曲面是一个平面(平面具有一个很好的特点,就是它的某一个方向的法向量是不会变化的,即公式中的三个方向余弦为常数)时,我们需要留意能不能转化为第一型曲面积分,以简化运算。 例 解: 这种形式(球面和柱面,均为二次方程)不好求参数方程了,只能使用斯托克斯公式。
转化为第二型曲面积分,要明确曲面和曲面的方向 显然在xOy平面上的投影是一个圆面,统一投影计算,将z化为只含有x、y的单值函数,并且求偏导数后代入被积表达式。 此时得到就是二重积分,注意二重积分有对称性,必要时可以极大地简化运算。 例 解: 注意到有圆柱面和平面(一次关系),我们可以求出参数方程,代入转化为定积分计算(很多三角运算,虽然繁琐但是可以算下去) 空间第二型曲线积分,使用斯托克斯公式, 此时得到的就是一个第二型曲面积分。 曲面在xOy面上的投影很明显就是一个圆面,采用统一投影计算,需要写出z关于x、y的单值函数,套用公式即可(方向向上,不需要加负号) 我们可以发现,转化后的第二型曲面积分的被积表达式很简洁,都是常数-2,而刚好这个积分曲面时一个平面(呈椭圆形状的平面),平面中任意一点处的某一方向上的法向量都相同,也就是法向量的三个方向余弦时确定的常数,故可以转化为第一型曲面积分,计算面积即可。 注意求得到法向量方向必须向上(因为之前的二型曲面积分求的是曲面上侧)接下来就是求平面的面积,需要用到投影面积关系。 实现部分为真实图形,虚线部分为投影,两者面积有如下关系: 空间上的积分与路径无关
例 空间上的积分与路径无关与平面上的如出一辙,只不过我们需要计算三个偏导数是否相等(斯托克斯公式右侧) 二、向量场中的向量算子这是之前学过的梯度。 梯度可以简记为数量函数关于每一个变量的偏导数构成的向量。 (一)格林公式中的环量与旋度 环量显然,环量实际上是第二型曲线积分,回忆我们使用格林公式将其转化为了一个二重积分, 那么两者相等,也是有意义的。 旋度说明旋度时一个向量,并且平面上,旋度只有第三个维度上有数值,其他两个维度为零。 小结——平面向量场中的环量与旋度看格林公式更加清楚: 环量实际上就是一条闭曲线上的第二型曲线积分,让求环量实际上就是计算第二型曲线积分; 公式右侧的 是旋度的数值,但是注意旋度(rot)是一个向量。 综合起来审视格林公式
(二)高斯公式中的通量与散度 通量 散度 小结——空间中的通量与散度看高斯公式: 通量实际上就是一个第二型曲面积分,让求通量就是计算第二型曲面积分; 高斯公式右侧的式子也具有意义:三个偏导数之和是散度,注意散度(div)是一个数量。 (三)斯托克斯公式中的环量与旋度 这种情况完全就是平面的推广。 环量 环量面密度 旋度 小结——结合斯托克斯公式记忆这两个量
对上句话的理解: 知识点9:计算环量、旋度与通量、散度例
例 例 g(x, y, z)是一个数量函数,grad表示梯度,数量函数的梯度是一个向量函数,div是求一个向量函数的散度,是一个数量。这种类似“级联关系”的计算,逐步计算不混淆即可。 三、场论初步 保守场 有势场与势函数在多元函数微分学中学过梯度: 求势函数实际上是球梯度场F的一个原函数。 无旋场 无源场例
保守场==>积分与路径无关,势函数则为原函数加上负号即可。 现在需要求出所有的原函数,仍然套用公式。 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |